Semestrální test 2 AOSR

Otázky za jeden bod

q aosr/1fnii

3. Napište obecný vztah definující centrální silové pole. (1b.)

? aosr/1fnii/m/48rm $\vec{F}(r)=f(r)\overrightarrow{r_0}$ Značky:

• $\vec{F}(r)\dots$ vektor síly působící v místě určeném polohovým vektorem $r$
• $\overrightarrow{r_0}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\dots$ jednotkový vektor ve směru polohového vektoru $\vec{r}$

q aosr/1mdcs

6. Napište definiční vztahy pro moment síly a moment hybnosti. (1b.)

? aosr/1mdcs/m/4p9c

Moment síly:

$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$

Moment hybnosti:

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ Značky?

• $\vec{M}\dots$ vektor momentu síly
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor polohy působiště síly
• $\vec{F}\dots$ vektor působící síly
• $\vec{L}\dots$ vektor momentu hybnosti
• $\vec{p}\dots$ vektor hybnosti

q aosr/4630g

9. Napište vztah určující počet stupňů volnosti soustavy N hmotných bodů. (1b.)

? aosr/4630g/m/1s6a $s=3N-R$ Značky:

• $s\dots$ počet stupňů volnosti soustavy
• $N\dots$ počet hmotných bodů
• $R\dots$ počet holonomních vazeb

q aosr/15vcf

12. Napište rovnici kuželosečky v polárních souřadnicích. (1b.)

? aosr/15vcf/m/5i0o $\frac{p}{r}=1+\epsilon \cos \phi$ Značky: $\epsilon \dots$ numerická excentricita $p=\frac{L^2}{\alpha m}\dots$ parametr kuželosečky $r\dots$ vzdálenost křivky od ohniska $\phi \dots$ polární úhel

q aosr/40cpb

13. Napište vztah pro gravitační potenciál pro případ jednoho zdrojového hmotného bodu ležícího mimo počátek souřadnicové soustavy. (1b.)

? aosr/40cpb/m/527v $\phi (\vec{r})=-\varkappa \frac{m}{|\vec{r}-\vec{R}|}$ Značky:

• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $m\dots$ hmotnost zdrojového hmotného bodu
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor místa ve kterém potenciál zjišťujeme
• $\vec{R}\dots$ polohový vektor zdrojového hmotného bodu

q aosr/1vlkb

14. Napište vztah vyjadřující Newtonův gravitační zákon pro soustavu zdrojových hmotných bodů. (1b.)

? aosr/1vlkb/m/1psg $\overrightarrow{F_g}=-\varkappa M{\sum }_{i=1}^N\frac{m_i}{|\vec{r}-\overrightarrow{r_i}{|}^3}(\vec{r}-\overrightarrow{r_i})$ Značky:

• $\overrightarrow{F_g}\dots$ výsledný vektor gravitační síly
• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $M\dots$ hmotnost testovaného tělesa
• $N\dots$ počet zdrojových bodů
• $m_i\dots$ hmotnost i-tého zdrojového bodu
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovaného tělesa
• $\overrightarrow{r_i}\dots$ polohový vektor i-tého zdrojového bodu

15. Nakreslete průběh závislosti velikosti intenzity gravitačního pole homogenní koule na vzdálenosti od jejího středu. (1b.)

stejné jako 107

q aosr/2tbjg

16. Nakreslete průběh závislosti velikosti intenzity gravitačního pole homogenní kulové slupky na vzdálenosti od jejího středu. (1b.)

? aosr/2tbjg/m/3plc

q aosr/5ul5e

18. Napište, čemu se rovná intenzita gravitačního pole uvnitř duté koule. (1b.)

? aosr/5ul5e/m/5jdm $K(\vec{r})=0$

q aosr/5jk2o

19. Napište vztah pro relativistickou klidovou energii. (1b.)

? aosr/5jk2o/m/8vq9 $E_0=m_0{c}_0^2$ Značky:

• $E_0\dots$ klidová energie
• $m_0\dots$ klidová hmotnost
• $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu

q aosr/3i4in

20. Napište vztah pro hmotný střed soustavy hmotných bodů. (1b.)

? aosr/3i4in/m/fnif ${\vec{r}}_S=\frac{{\sum }_{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{r_i}}{{\sum }_{i=1}^N{m}_i}$ Značky:

• $N\dots$ počet bodů
• $\overrightarrow{r_S}\dots$ polohový vektor hmotného středu soustavy
• $m_i\dots$ hmotnost i-tého hmotného bodu
• $\overrightarrow{r_i}\dots$ polohový vektor i-tého hmotného bodu

q aosr/4lgmc

21. Napište definiční vztah pro I. větu impulzovou. (1b.)

? aosr/4lgmc/m/6sfi $\frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t}={\vec{F}}^e$ Značky:

• $\vec{P}\dots$ vektor hybnosti
• ${\vec{F}}^e\dots$ vektor výslednice vnějších sil

q aosr/585f2

22. Napište definiční vztah pro II. větu impulzovou. (1b.)

? aosr/585f2/m/5ml3 $\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}={\vec{M}}^e$ Značky:

• $\vec{L}\dots$ vektor momentu hybnosti
• ${\vec{M}}^e\dots$ vektor výsledného momentu vnějších sil

q aosr/2pacc

23. Čemu se rovná okamžitá časová změna celkové mechanické energie soustavy hmotných bodů? (1b.)

? aosr/2pacc/m/dbsb

Nekonzervativní síly:

$\frac{\text{d}E}{\text{d}t}=P$

Konzervativní síly:

$\frac{\text{d}E}{\text{d}t}=0$ Značky:

• $E\dots$ celková mechanická energie soustavy
• $t\dots$ čas
• $P\dots$ výkon okamžitých nekonzervativních sil

q aosr/4dslf

24. Napište vztah mezi složkami vektoru momentu hybnosti a složkami vektoru úhlové rychlosti pro tuhé těleso rotující kolem pevného bodu. (1b.)

? aosr/4dslf/m/5a92 ${\vec{L}}_i={\sum }_{j=1}^3{\vec{J}}_{ij}{\omega }_{j}i=1,2,3$ Tedy:

• ${\vec{L}}_x={\vec{J}}_{xx}{\omega }_x+{\vec{J}}_{xy}{\omega }_y+{\vec{J}}_{xz}{\omega }_z$
• ${\vec{L}}_y={\vec{J}}_{yx}{\omega }_x+{\vec{J}}_{yy}{\omega }_y+{\vec{J}}_{yz}{\omega }_z$
• ${\vec{L}}_z={\vec{J}}_{zx}{\omega }_x+{\vec{J}}_{zy}{\omega }_y+{\vec{J}}_{zz}{\omega }_z$ Značky:
• ${\vec{L}}_i\dots$ vektory momentu hybnosti (${\vec{L}}_x$, ${\vec{L}}_y$, ${\vec{L}}_z$)
• ${\omega }_i\dots$ složky vektoru úhlové rychlosti (${\omega }_x$, ${\omega }_y$, ${\omega }_z$)
• $J_{ij}\dots$ momenty setrvačnosti ($J_{xx}$, $J_{yy}$, $J_{zz}$ vzhledem k osám $x$, $y$, $z$)

q aosr/328su

29. Napište vztah vyjadřující Coulumbův zákon pro soustavu zdrojových bodových nábojů. (1b.)

? aosr/328su/m/4bbg $F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}Q{\sum }_{i=1}^N\frac{Q_i}{|\vec{r}-\overrightarrow{R_i}|}(\vec{r}-\overrightarrow{R_i})$ Značky:

• ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua
• $Q\dots$ testovací náboj
• $Q_i\dots$ zdrojový náboj
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovacího bodu
• $\overrightarrow{R_i}\dots$ polohový vektor zdrojového náboje

q aosr/1sebm

30. Odvoďte Poissonovu rovnici pro elektrické pole. (1b.)

? aosr/1sebm/m/15se $\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho (\vec{r})}{{\epsilon }_0}$ $\vec{E}=-\nabla \phi$ $\nabla (-\nabla \phi )=\frac{\rho (\vec{r})}{{\epsilon }_0}$ ${\nabla }^2\phi =-\frac{\rho (\vec{r})}{{\epsilon }_0}$ Značky:

• $\vec{E}\dots$ vektor intenzity elektrického pole
• $\rho \dots$ objemová hustota náboje
• ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua
• $\phi \dots$ elektrický potenciál

q aosr/70tc1

34. Napište vztah vyjadřující objemovou hustotu elektrické energie. (1b.)

? aosr/70tc1/m/5ieg $w_e=\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2$ Značky:

• ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua
• $E\dots$ intenzita elektrického pole

q aosr/3p90l

37. Napište vztah vyjadřující Coulombův zákon pro spojitě rozložený elektrický náboj. (1b.)

? aosr/3p90l/m/5sn4 $F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}Q{\iiint }_{V^{\prime }}\frac{\rho (\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|}(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})\text{d}{V}^{\prime }$ Značky:

• ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua
• $Q\dots$ testovací náboj
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovacího bodu
• $\overrightarrow{r^{\prime }}\dots$ polohový vektor elementu objemu
• $\rho (\overrightarrow{r^{\prime }})\dots$ objemová hustota v bodě polohového vektoru $\overrightarrow{r^{\prime }}$

q aosr/7form

39. Napište vztah pro elektrický dipólový moment. (1b.)

? aosr/7form/m/tke6 $\vec{p}=q\vec{l}$ Značky:

• $\vec{p}\dots$ vektor elektrického dipólového momentu
• $q\dots$ velikost náboje
• $\vec{l}\dots$ vektor vzdálenosti mezi náboji

q aosr/b7h9a

42. Nakreslete průběh závislosti velikosti intenzity elektrického pole homogenně nabité koule na vzdálenosti od jejího středu. (1b.)

? aosr/b7h9a/m/z582

q

51. Napište vztah určující počet stupňů volnosti soustavy N hmotných bodů. (1b.)

je to jako 9.

Mechanika tuhého tělesa

q aosr/30ar2

88. Napište vztah pro kinetickou energii tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy. (2b.)

? aosr/30ar2/m/6hgr $T=\frac{1}{2}\vec{J}{\vec{\omega }}^2$ Značky:

• $J\dots$ moment setrvačnosti
• $\omega \dots$ úhlová rychlost

q aosr/5h293

89. Napište Steinerovu větu a k ní nakreslete vysvětlující obrázek. (2b.)

? aosr/5h293/m/2sch $J_A=J_T+m{d}^2$ Značky:

• $J_A\dots$ moment setrvačnosti na ose A
• $J_T\dots$ moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm tělesa
• $m\dots$ hmotnost tělesa
• $d\dots$ vzdálenost rovnoběžných os otáčení Obrázek:

q aosr/2fcfc

90. Napište I. a II. větu impulzovou. (2b.)

? aosr/2fcfc/m/z442 První: $\frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t}={\vec{F}}^e$ Druhá: $\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}={\vec{M}}^e$ Značky:

• $\vec{P}\dots$ vektor hybnosti
• ${\vec{F}}^e\dots$ vektor výslednice vnějších sil
• $\vec{L}\dots$ vektor momentu hybnosti
• ${\vec{M}}^e\dots$ vektor výsledného momentu vnějších sil

q aosr/4gq2u

91. Napište I. a II. větu impulzovou pro izolovanou soustavu hmotných bodů. (2b.)

? aosr/4gq2u/m/6kim Pro izolovanou soustavu hmotných bodů platí: ${\vec{F}}^e=0$; ${\vec{M}}^e=0$

I. věta impulzová

$\frac{\text{d}{\sum }_i^N{\vec{P}}_i}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t}={\vec{F}}^e=0\Rightarrow \vec{P}=konst.$

II. věta impulzová

$\frac{\text{d}{\sum }_i^N{\vec{L}}_i}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}={\vec{M}}^e=0\Rightarrow \vec{L}=konst.$ Značky:

• $\vec{P}\dots$ celkový vektor hybnosti soustavy
• $\vec{L}\dots$ celkový vektor momentu hybnosti soustavy

q aosr/2hqtd

92. Napište zákon zachování momentu hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose otáčení. (2b.)

? aosr/2hqtd/m/5o2q $\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}(J\vec{\omega })}{\text{d}t}={\vec{M}}^e$ Pokud izolované $M^e=0$ $\vec{L}=J\cdot \vec{\omega }=konst.$ Značky:

• $\vec{\omega }\dots$ úhlová frekvence
• $J\dots$ moment setrvačnosti
• $\vec{L}\dots$ vektor momentu hybnosti
• ${\vec{M}}^e\dots$ vektor výsledného momentu hybnosti vnějších sil

q aosr/5gamo

93. Napište definiční vztah pro moment setrvačnosti tělesa se spojitě rozloženou hmotou. (2b.)

? aosr/5gamo/m/4rq1 $J={\iiint }_V\rho (\vec{r})r^{2}dV$ Značky:

• $J\dots$ moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení
• $\rho (\vec{r})\dots$ hustota tělesa v daném bodě v poloze vektoru $\vec{r}$
• $\vec{r}\dots$ kolmá vzdálenost od osy otáčení

q aosr/3vo3q

94. Dokažte, že rychlost hmotného středu $v_s$ izolované soustavy hmotných bodů je konstantní. (2b.)

? aosr/3vo3q/m/1pbl Izolovaná soustava $\Rightarrow {\vec{F}}^e=0$ $\frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t}={\vec{F}}^e=0\Rightarrow \frac{\text{d}(M{\vec{v}}_s)}{\text{d}t}=0\Rightarrow m\frac{\text{d}{\vec{v}}_s}{\text{d}t}=0\Rightarrow v_S=konst.$

q aosr/md213

95. Napište pohybové rovnice tuhého tělesa. (2b.)

? aosr/md213/m/24rp Posuv: $\vec{F}=m\vec{a}$ Rotace: $\vec{M}=\frac{\text{d}(J\omega )}{\text{d}t}$ Značky:

• $\vec{F}\dots$ výslednice vnějších sil
• $m\dots$ hmotnost tělesa
• $\vec{a}\dots$ vektor zrychlení
• $\vec{M}\dots$ výsledný moment vnějších sil
• $J\dots$ moment setrvačnosti
• $\vec{\omega }\dots$ vektor úhlové rychlosti

q aosr/4t2or

96. Jaká bude úhlová rychlost rotujícího izolovaného tuhého tělesa, změní-li se jeho moment setrvačnosti z hodnoty $J_1$ na hodnotu $J_2$ a znáte-li jeho původní úhlovou rychlost otáčení ${\omega }_1$. (2b.)

? aosr/4t2or/m/66i0 $J_1{\omega }_1=J_2{\omega }_2\Rightarrow {\omega }_2=\frac{J_1}{J_2}{\omega }_1$ Značky:

• $J_1\dots$ původní moment setrvačnosti
• $J_2\dots$ nový moment setrvačnosti
• ${\omega }_1\dots$ původní úhlová rychlost
• ${\omega }_2\dots$ nová úhlová rychlost

q aosr/596fo

97. Kolik stupňů volnosti má tuhé těleso? (zdůvodněte) (2b.)

? aosr/596fo/m/4t9t Pohyb tělesa se dělí na Translaci a Rotaci.

• Translace - 3 souřadnice (x,y,z)
• Rotace - 3 úhly Celkem 6 $S=3N-R=9-3=6$

q aosr/7aheh

98. Čemu se rovná moment setrvačnosti hmotného bodu $m$ rotujícího kolem pevné osy, která je od něj vzdálena $r_{\perp }=konst.$? (2b.)

? aosr/7aheh/m/72jh $J=m{r}_{\perp }^2$ Značky:

• $J\dots$ moment setrvačnosti
• $m\dots$ hmotnost bodu
• $r_{\perp }\dots$ kolmá vzdálenost od osy rotace

q aosr/7q9a5

99. Napište vztah pro rotační kinetickou energii tuhého tělesa konajícího čistě rotační pohyb kolem pevného bodu, znáte-li jeho vektor úhlové rychlosti a vektor momentu hybnosti. (2b.)

? aosr/7q9a5/m/z592 $T=\frac{1}{2}J{\omega }^2=\frac{1}{2}\vec{L}\cdot \vec{\omega }$ Značky:

• $T\dots$ rotační kinetická energie
• $\vec{\omega }\dots$ vektor úhlové rychlosti
• $\vec{L}\dots$ vektor momentu hybnosti
• $J\dots$ moment setrvačnosti

Gravitační pole

q aosr/lqqr6

100. Napište vztah vyjadřující Newtonův gravitační zákon pro soustavu zdrojových hmotných bodů. (2b.)

? aosr/lqqr6/m/64nc $F=-\varkappa M{\sum }_{i=1}^N\frac{m_i}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}(\vec{r}-{\vec{r}}_i)$ Značky:

• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $M\dots$ hmotnost testovacího hmotného bodu
• $m_i\dots$ hmotnost i-tého zdrojového hmotného bodu
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovacího hmotného bodu
• ${\vec{r}}_i\dots$ polohový vektor i-tého zdrojového hmotného bodu

q aosr/7dt2b

101. Napište vztah pro intenzitu gravitačního pole pro případ spojitě rozložené zdrojové hmoty. Nakreslete situační obrázek. (2b.)

? aosr/7dt2b/m/5c2f $\vec{K}(\vec{r})=\frac{{\vec{F}}_g}{m}$ $\vec{K}(\vec{r})=-\varkappa {\iiint }_V\frac{\rho (\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})\text{d}V$ Značky:

• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $\rho (\overrightarrow{r^{\prime }})\dots$ hustota hmoty v místě vektoru $\overrightarrow{r^{\prime }}$
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovacího hmotného bodu
• $\overrightarrow{r^{\prime }}\dots$ polohový vektor elementu objemu zdroje
• $V\dots$ objem tělesa todo obrázek

q aosr/6dej4

102. Napište vztah pro gravitační potenciál pro případ spojitě rozložené zdrojové hmoty. Nakreslete situační obrázek. (2b.)

? aosr/6dej4/m/ai3e $\phi (\vec{r})=-\varkappa {\iiint }_V\frac{\rho (\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|}\text{d}{V}^{\prime }$ Značky:

• $\phi (\vec{r})\dots$ gravitační potenciál v bodě daném polohovým vektorem $r$
• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $V\dots$ objem zdrojového tělesa
• $\rho (\overrightarrow{r^{\prime }})\dots$ hustota zdrojové hmoty
• $\overrightarrow{r^{\prime }}\dots$ polohový vektor objemového elementu zdroje
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor ve kterém potenciál počítáme todo obrázek

q aosr/3su9e

103. Napište Gaussův zákon pro gravitační pole v integrálním tvaru. Nakreslete situační obrázek. (2b.)

? aosr/3su9e/m/6nbh $\iint \vec{K}(\vec{r})\cdot \text{d}\vec{S}=-4\pi \varkappa m^{\prime }$ Značky:

• $\overrightarrow{K(\stackrel{⃗}{r})}\dots$ vektor intenzity gravitačního pole v bodě daném polohovým vektorem $\vec{r}$
• $S\dots$ plocha
• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $m^{\prime }\dots$ celková hmotnost Obrázek:

q aosr/165co

104. Napište Gaussův zákon pro gravitační pole v diferenciálním tvaru. (2b.)

? aosr/165co/m/6n1m $\vec{\nabla }\cdot \vec{K}(\vec{r})=-4\pi \varkappa \rho (\vec{r})$ Značky:

• $\vec{\nabla }\dots$ divergence
• $\vec{K}(\vec{r})\dots$ vektor intenzity gravitačního pole v bodě daném polohovým vektorem $\vec{r}$
• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $\rho (\vec{r})\dots$ objemová hustota zdrojové hmoty v bodě daném polohovým vektorem $\vec{r}$

q aosr/4suh4

105. Napište vztah pro intenzitu gravitačního pole v případě homogenní koule o hmotnosti $M$ umístěné mimo počátek souřadnicové soustavy. (2b.)

? aosr/4suh4/m/197v $\vec{K}(\vec{r})=-\varkappa \frac{M}{|\vec{r}-\vec{R}{|}^3}(\vec{r}-\vec{R})$ Značky:

• $\vec{K}\dots$ vektor intenzity gravitačního pole
• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $M\dots$ hmotnost koule
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovaného bodu
• $\vec{R}\dots$ poloha středu koule

q aosr/5bo4a

106. Napište vztah pro potenciál gravitačního pole v případě homogenní koule o hmotnosti $M$ umístěné mimo počátek souřadnicové soustavy. (2b.)

? aosr/5bo4a/m/z210 $\phi (\vec{r})=-\varkappa \frac{M}{|\vec{r}-\vec{R}|}$ Značky:

• $\phi (\vec{r})\dots$ gravitační potenciál v bodě daném polohovým vektorem $\vec{r}$
• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $M\dots$ hmotnost koule
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovaného bodu
• $\vec{R}\dots$ polohový vektor středu koule

q aosr/3k1vv

107. Zakreslete průběh velikosti intenzity gravitačního pole uvnitř a vně homogenní koule umístěné v počátku souřadnicové soustavy v závislosti na vzdálenosti od počátku. (2b.)

? aosr/3k1vv/m/1n3s

q aosr/2j4qv

108. Napište vztah pro intenzitu gravitačního pole uvnitř a vně homogenní duté koule. (2b.)

? aosr/2j4qv/m/1aue Uvnitř $K(\vec{r})=0$ Vně $K(\vec{r})=-\varkappa \frac{m}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})$ Značky:

• $\varkappa \dots$ gravitační konstanta
• $m\dots$ hmotnost duté koule
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor testovaného bodu
• $\overrightarrow{r^{\prime }}\dots$ polohový vektor středu koule

q aosr/5gs40

109. Odvoďte poissonovu rovnici pro potenciál gravitačního pole. (2b.)

? aosr/5gs40/m/19q2 $\vec{\nabla }\cdot \vec{K}(\vec{r})=-4\pi \varkappa \rho (\vec{r})$ $\vec{K}(\vec{r})=-\nabla \phi (\vec{r})$ $\vec{\nabla }\cdot (-\nabla \phi )=-4\pi \varkappa \rho (\vec{r})$ ${\nabla }^2\phi =4\pi \varkappa \rho (\vec{r})$

q aosr/243ns

110. Napište znění Keplerových zákonů. (2b.)

? aosr/243ns/m/6o51

Keplerovy zákony

1. Planety se pohybují po elipsách kolem Slunce, které se nachází v jejich společném ohnisku.
2. Plocha průvodiče planet opsaná za jednotku času je konstantní.
3. Podíl kvadrátu oběžné doby planety kolem Slunce a třetí mocniny délky velké poloosy jí příslušné elipsy je roven konstantě, která je pro všechny planety sluneční soustavy stejná.

Speciální teorie relativity

q aosr/783ro

111. Napište znění postulátů speciální teorie relativity. (2b.)

? aosr/783ro/m/18mp

Postuláty speciální teorie relativity

1. Všechny fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.
2. Rychlost světla ve vakuu je ve všech inerciálních vztažných soustavách stejná.

q aosr/1d05b

112. Napište vztah pro dilataci času a kontrakci délek spolu s vysvětlujícím obrázkem. (2b.)

? aosr/1d05b/m/3a8c $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c_0^2}}}$

Dilatace času:

$T=\gamma \tau$

Kontrakce délek:

$L=\frac{L_0}{\gamma }$ Značky:

• $v\dots$ vzájemná rychlost pohybu
• $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu
• $T\dots$ časový interval změřený pohybujícím se pozorovatelem
• $\tau \dots$ časový interval změřený pozorovatelem v klidu
• $L\dots$ délka pohybujícího tělesa
• $L_0\dots$ délka tělesa v klidu Obrázek:

q aosr/4c06n

113. Napište Lorentzovy transformační vztahy spolu s vysvětlujícím obrázkem. (2b.)

? aosr/4c06n/m/3rkc $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ $y^{\prime }=y$ $z^{\prime }=z$ $t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})$ $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c_0^2}}}$ Obrázek:

q aosr/5lvkt

114. Napište vztah pro relativistické skládání rychlostí. (2b.)

? aosr/5lvkt/m/216m $u=\frac{u^{\prime }+v}{1+\frac{v}{c^2}{u}^{\prime }}$ $u^{\prime }=\frac{u-v}{1-\frac{v}{c^2}u}$ Značky:

• $u\dots$ výsledná rychlost vzhledem ke klidové soustavě $S$
• $u^{\prime }\dots$ rychlost tělesa vzhledem k soustavě $S^{\prime }$
• $v\dots$ rychlost pohybu soustavy $S^{\prime }$ vůči $S$
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu

q aosr/2i18b

115. Dvě rakety letí z opačných směrů k Zemi rychlostí $v=c/2$. Určete rychlost jedné z raket vůči druhé. (2b.)

? aosr/2i18b/m/6moh $u=\frac{u^{\prime }+v}{1+\frac{v}{c^2}{u}^{\prime }}$ $u^{\prime }=\frac{c/2+c/2}{1+\frac{(c/2)(c/2)}{c^2}}=\frac{4}{5}c$

q aosr/32gq8

116. Napište relativistický vztah pro energii a odvoďte z něj vztah pro energii klidovou. (2b.)

? aosr/32gq8/m/am63 $E=m(\vec{v})c^2=\gamma m_0{c}^2$ Klid $\Rightarrow v=0$ $E_0=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{0^2}{c^2}}}=m_0{c}^2$

q aosr/tfmt7

117. Na základě relativistického vztahu pro energii ukažte, že hmotnost fotonu je rovna $0$. (2b.)

? aosr/tfmt7/m/2gvk $E=m(\vec{v})c^2=\gamma m_0{c}^2$ $E_0=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ Foton se pohybuje rychlostí $v=c$ $E_0=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}}}=\frac{m_0{c}^2}{0}$ Aby to dávalo smysl (Energie nemůže být nekonečná) $m_0=0$ $E_0=\frac{0}{0}{c}^2$

q aosr/1l5db

118. Hamiltonova funkce relativistické volné částice je dána vztahem $H=\sqrt{p^2{c}^2+m_0^2{c}^4}$. Nalezněte vztah pro rychlost částice $v(p)$. (2b.)

? aosr/1l5db/m/52u9 $v=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p{c}^2}{\sqrt{p^2{c}^2+m_0^2{c}^4}}$

Otázky za 3 body

q aosr/483qp

161. Odvoďte vztah pro rotační kinetickou energii tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy a zaveďte tímto fyzikální veličinu moment setrvačnosti. (3b.)

? aosr/483qp/m/5d38 ${\vec{v}}_n=\vec{\omega }\times {\vec{r}}_n=\vec{\omega }\times ({\vec{r}}_{n\parallel }+{\vec{r}}_{n\perp })=\vec{\omega }\times {\vec{r}}_{n\parallel }+\vec{\omega }\times {\vec{r}}_{n\perp }$ $\vec{\omega }\times {\vec{r}}_{n\parallel }=0$ Takže: ${\vec{v}}_n=\vec{\omega }\times {\vec{r}}_{n\perp }$ $v_n=\omega r_{n\perp }$

Celková rotační kinetická energie

$T_r={\sum }_n\frac{1}{2}{m}_n{v}_n^2$ Dosadím $v_n$: $T_r={\sum }_n\frac{1}{2}{m}_n(\omega r_{n\perp }{)}^2=\frac{1}{2}{\omega }^2{\sum }_n{m}_n{r}_{n\perp }^2=\frac{1}{2}J{\omega }^2$ a tedy: $J={\sum }_n{m}_n{r}_{n\perp }^2$ Značky:

• $\omega \dots$ úhlová rychlost
• $m_n\dots$ hmotnost tuhého tělesa
• $r_n\dots$ vzdálenost otáčení tělesa
• $T_r\dots$ rotační kinetická energie
• $J\dots$ moment setrvačnosti Obrázek:

q aosr/79d9o

163. Odvoďte Steinerovu větu a nakreslete vysvětlující obrázek. (3b.)

? aosr/79d9o/m/6v3p $r_{\perp }^2=(x-d{)}^2+y^2$ $J_A={\int }_m[(x-d{)}^2+y^2]\text{d}m={\int }_m[d^2-2xd+x^2+y^2]\text{d}m=$ $=d{\int }_m\text{d}m-2d{\int }_{m}x\text{d}m+{\int }_m(x^2+y^2)\text{d}m=$ $J_A=m{d}^2+J_T$

q aosr/2cjkq

165. Nalezněte vztah pro změnu energie, ke které dojde při čelní dokonale nepružné srážce dvou koulí o hmotnostech $m_1$, $m_2$ pohybující se proti sobě po vodorovné podložce rychlostmi $v_1$ a $v_2$. (3b.)

? aosr/2cjkq/m/7ug5 $m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{u}_1+m_2{u}_2$ $\Delta E=\Delta T=E_{p\check{r}ed}-E_{po}=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2-\frac{1}{2}(m_1+m_2)u^2=\frac{1}{2}\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2{)}^2$ todo

q aosr/4rf0g

166. Na základě vztahu pro relativistické skládání rychlostí ukažte, že je-li rychlost světelného paprsku vůči čárkované soustavě $c$, která se vůči nečárkované soustavě pohybuje rychlostí $V$, tak naměříme stejnou rychlost světelného paprsku i v soustavě nečárkované. (3b.)

? aosr/4rf0g/m/2qlj $v=\frac{v^{\prime }+V}{1+\frac{v^{\prime }V}{c^2}}=\frac{c+V}{1+\frac{cV}{c^2}}=\frac{c+V}{\frac{c+V}{c}}=c$ Značky:

• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu

167. Ukažte, že v centrálním silovém poli je plošná rychlost konstantní za předpokladu, že časová změna momentu hybnosti je rovna nulovému vektoru. Nakreslete situační obrázek. (3b.)

? todo

168. Dokažte, že časová změna momentu hybnosti v centrálním silovém poli umístěném v počátku souřadnic je rovna nulovému vektoru. (3b.)

? $\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}(\vec{r}\times \vec{p})}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}=\vec{v}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \vec{F}=\vec{r}\times f(\vec{r})\overrightarrow{r_0}=\vec{0}$