Druhý semestrální test

Otázky

71. Napište řešení vlnové rovnice pro tlumené rovinné vlny. todo

72. Ukažte, že ve vodivém prostředí můžeme položit objemovou hustotu elektrického náboje rovnu nule. todo

73. Odvoďte zobecněnou vlnovou rovnici (telegrafní rovnici) pro elektrickou intenzitu. todo

74. Odvoďte disperzní relaci pro elektromagnetickou vlnu ve vodivém prostředí. todo

75. Jaký je geometrický vztah mezi mezi vektory elektrické intenzity, magnetické intenzity a vlnového vektoru.

? Vztah mezi nimi: $\frac{\vec{k}}{\omega }\times \vec{E}=\vec{B}$

• $\vec{k}\dots$ vlnový vektor (udává směr šíření vlny)
• $\vec{E}\dots$ elektrická intenzita (směr elektrického pole)
• $\vec{B}\dots$ magnetická indukce ()
• $\vec{k}$ a $\vec{E}$ jsou na sebe kolmé
• $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou na sebe kolmé
• $\vec{B}$ a $\vec{k}$ jsou na sebe kolmé

76. Je elektromagnetická vlna v izotropním prostředí vlnou podélnou či příčnou? Zdůvodněte.

? Elektromagnetická vlna v izotropním prostředí je příčná vlna. Zdůvodnění:

• Vektory elektrické intenzity $\vec{E}$ a magnetické indukce $\vec{B}$ jsou kolmé ke směru šíření vlny $\vec{k}$
• Kmitání pole probíhá kolmo ke směru šíření, tedy příčné vlny

77. Napište vztah pro Poyntingův vektor.

? $\vec{S}(\vec{r},t)=\vec{E}(\vec{r},t)\times \vec{H}(\vec{r},t)$ $\vec{S}\dots$ Poyntingův vektor, hustota toku elektromagnetické energie $[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}]$ $\vec{E}\dots$ vektor elektrické intenzity $[\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{H}\dots$ vektor magnetické intenzity $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}]$

78. Napište Poyntingovu bilanční rovnici v diferenciálním tvaru.

? Rovnice představuje zákon zachování energie elektromagnetického pole v diferenciálním tvaru $\vec{j}\cdot \vec{E}=-\frac{\partial w}{\partial t}-\nabla \cdot \vec{S}$ $\vec{S}\dots$ Poyntingův vektor, hustota toku elektromagnetické energie $[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}]$ $w\dots$ objemová hustota energie elektromagnetického pole $\vec{E}\dots$ vektor elektrické intenzity $[\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{H}\dots$ vektor magnetické intenzity $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{j}\dots$ hustota elektrického proudu $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}]$

79. Jak je zaveden index lomu pro nemagnetická prostředí? Vyjádřete index lomu pomocí relativní permitivity.

? $n=\frac{c_0}{c}=\frac{\sqrt{\mu \epsilon }}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=\frac{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0{\mu }_r{\epsilon }_r}}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}\stackrel{\text{pro nemag.}}{\Rightarrow }{\mu }_r=1\Rightarrow n=\sqrt{{\epsilon }_r}$ $n\dots$ index lomu prostředí $c\dots$ rychlost světla ve vakuu ${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}\dots$ relativní permitivita prostředí $\epsilon \dots$ permitivita prostředí ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua ${\mu }_r=\frac{\mu }{{\mu }_0}\dots$ relativní permeabilita (pro nemagnetická prostředí ${\mu }_r=1$) $\mu \dots$ permeabilita prostředí ${\mu }_0\dots$ permeabilita vakua $c_0\dots$ rychlost šíření elektromagnetické vlny

80. Napište zákon odrazu pro elektromagnetické vlny.

? Úhel dopadu je roven úhlu odrazu ${\alpha }_i={\alpha }_r$ ${\alpha }_i\dots$ úhel dopadu ${\alpha }_r\dots$ úhel odrazu

81. Napište vztah pro zákon lomu (Snellův zákon) elektromagnetické vlny.

? $n_i\sin \alpha =n_t\sin \beta$ $n_i\dots$ index lomu prvního prostředí $n_t\dots$ index lomu druhého prostředí $\alpha \dots$ úhel dopadu $\beta \dots$ úhel lomu

82. Co nám vyjadřují Fresnelovy vzorce?

? Fresnelovy vzorce vyjadřují odrazové a přenosové (lomové) koeficienty elektromagnetické vlny na rozhraní dvou prostředí v závislosti na úhlu dopadu, indexech lomu a polarizaci vlny.

83. Odvoďte vztah pro Brewsterův úhel. todo

84. Co chápeme pod pojmem polarizace elektromagnetické vlny.

? Polarizace elektromagnetické vlny popisuje časový průběh a orientaci vektoru elektrické intenzity $\vec{E}$ v rovině kolmé ke směru šíření vlny.

85. Odvoďte podmínku pro totální odraz.

86. Napište vztah pro obecnou eliptickou polarizaci.

? ${\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)}^2+{\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)}^2-2\frac{E_x{E}_y}{E_{0x}{E}_{0y}}\cos \Delta ={\sin }^2\Delta$ ${\xi }_m=0$ tedy: ${\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)}^2+{\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)}^2=1$ $\Delta =(2m+1)\frac{\pi }{2},|m|=1,2,3,\dots$

87. Jaká je podmínka pro lineární polarizaci elektromagnetické vlny.

? $E_y=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}(-1{)}^m{E}_x$ kde $\Delta =m\pi$, $|m|=1,2,3,\dots$

88. Jaké musí být splněny podmínky pro kruhovou polarizaci elektromagnetické vlny.

? $E_x^2+E_y^2=E_0^2$ kde $\Delta =(2m+1)\frac{\pi }{2}$, $|m|=1,2,3,\dots$

89. Jak definujeme polarizaci pravou (pravotočivou), resp. levou (levotočivou).

? Díváme-li se proti směru šíření vyšetřované elektromagnetické vlny (tedy z kladného konce osy $z$ směrem ke konci zápornému), může se vektor $\vec{E}$ otáčet:

• ve směru hodinových ručiček (vpravo), pak se mluví o pravotočivé polarizaci $\Delta >0$
• proti směru hodinových ručiček (vlevo), jde o levotočivou polarizaci $\Delta <0$

90. Jak definujeme intenzitu elektromagnetické vlny (není myšlena elektrická intenzita).

? $I=\frac{E_0^2}{2\mu c}$

• $I\dots$ intenzita vlny
• $E_0\dots$ amplituda elektrického pole
• $\mu \dots$ permeabilita prostředí
• $c\dots$ rychlost šíření vlny v daném prostředí

91. Co chápeme pod pojmem koherence elektromagnetických vln?

?

• Koherence elektromagnetických vln vyjadřuje schopnost vln vzájemně interferovat, tj. mít mezi sebou stálý fázový vztah v čase a prostoru.
• Koherentní jsou vlnění stejné frekvence, jejichž fázový rozdíl v uvažovaném bodě se s časem nemění. (např. laser)

92. Jakých hodnot může nabývat komplexní stupeň koherence γ(r1, r2, τ ) ≡ γ12(τ )? Co nám vyjadřuje? ?

93. Jak se mění fáze elektromagnetické vlny při odrazu na opticky hustším prostředí?

?

• Fáze bude opačná
• Při odrazu elektromagnetické vlny na rozhraní s opticky hustším prostředím (tj. $n_2>n_1$​) dochází k fázovému skoku o $\pi$, tedy ke změně fáze o $180^{\circ }$. Značky:
• $n_1$​ – index lomu prostředí, z něhož vlna přichází
• $n_2$​ – index lomu opticky hustšího prostředí

94. Napište podmínku pro pozorování maxim při dvousvazkové interferenci na tenké vrstvě.

? $d{n}_2\cos \beta =(2m+1)\frac{{\lambda }_0}{4}$ kde $m=0,1,2,\dots$ Značení:

• $d\dots$ tloušťka tenké vrstvy
• $n_2\dots$ index lomu vrstvy
• $\beta \dots$ úhel šíření ve vrstvě
• ${\lambda }_0\dots$ vlnová délka ve vakuu
• $m\dots$ řád interference

95. Napište podmínku pro pozorování minim při dvousvazkové interferenci na tenké vrstvě.

? $d{n}_2\cos \beta =2m\frac{{\lambda }_0}{4}$ kde $m=0,1,2,\dots$

• $d\dots$ tloušťka tenké vrstvy
• $n_2\dots$ index lomu vrstvy
• $\beta \dots$ úhel šíření ve vrstvě
• ${\lambda }_0\dots$ vlnová délka ve vakuu
• $m\dots$ řád interference

96. Co chápeme pod pojmem difrakce vlny?

?

• Difrakce vlny je jev, při kterém se vlnění ohýbá kolem překážek nebo se šíří do oblastí za překážkou, kde by podle geometrické optiky světlo nemělo být.
• Šíření světla do oblasti geometrického stínu. Jinými slovy jev spojený s odchýlením světla od jeho přímočarého pohybu, kdy tato odchylka nemůže být vysvětlena odrazem, lomem či spojitou prostorovou závislostí indexu lomu.

97. Napište Huygensův-Fresnelův princip.

?

• Podle Huygensova-Fresnelova principu každý bod čela dopadající (primární) vlny $M$ (přesněji elementární ploška, ve které se tento bod nachází) se stává zdrojem sekundárních kulových (sférických) vln, jež se na stínítku skládají, přičemž jejich amplituda je úměrná komplexní amplitudě dopadající primární vlny $\widehat{{\mathcal{E}}_0}$ a současně je úměrná velikosti oblasti $\text{d}S$, která kulovou vlnu vyzařuje.

98. Napište difrakční integrál v obecném tvaru pro Fresnelovu aproximaci (Fresnelovu difrakci).

? $\hat{\mathcal{E}}(P)=-\frac{jk{\hat{\mathcal{E}}}_0}{2\pi }{\iint }_{S_A}K(\theta )\frac{e^{jkr}}{r}\text{d}S$ kde $K(\theta )\approx 1$

• $\hat{\mathcal{E}}(P)$ – komplexní amplituda elektrické intenzity v bodě $P$
• ${\hat{\mathcal{E}}}_0$ – amplituda dopadající rovinné vlny
• $r_0$ – vzdálenost mezi středem apertury a bodem PPP
• $k=2\pi /\lambda$ – vlnové číslo

99. Napište difrakční integrál v obecném tvaru pro Fraunhoferovu difrakci (Fraunhoferovu aproximaci).

? $\hat{\mathcal{E}}(P)=-\frac{jk{\hat{\mathcal{E}}}_0}{2\pi }{\iint }_{S_A}K(\theta )\frac{e^{jk{r}_0}}{r_0}\text{d}S$ kde $K(\theta )\approx 1$, $r\approx r_0$

• $\hat{\mathcal{E}}(P)$ – komplexní amplituda elektrické intenzity v bodě $P$
• ${\hat{\mathcal{E}}}_0$ – amplituda dopadající rovinné vlny
• $r_0$ – vzdálenost mezi středem apertury a bodem $P$
• $k=2\pi /\lambda$ – vlnové číslo

100. Napište difrakční integrál pro Fraunhoferovu difrakci pro případ kolmého dopadu rovinné vlny na stínítko s obdélníkovým otvorem o stranách a, b.

? $\hat{\mathcal{E}}(P)=-\frac{jk{S}_A{e}^{jk{r}_0}}{2\pi r_0}{\hat{\mathcal{E}}}_0\frac{\sin \alpha }{\alpha }\frac{\sin \beta }{\beta }$ kde $\alpha =\frac{k{y}_{0}a}{2r_0}$, $\beta =\frac{k{z}_{0}b}{2r_0}$

• $\hat{\mathcal{E}}(P)$ – komplexní amplituda elektrické intenzity v bodě $P$
• ${\hat{\mathcal{E}}}_0$ – amplituda dopadající rovinné vlny
• $S_A=ab$ – plocha otvoru
• $r_0$ – vzdálenost mezi středem apertury a bodem $P$
• $\alpha =\frac{k{y}_{0}a}{2r_0}$, $\beta =\frac{k{z}_{0}b}{2r_0}$​ – argumenty sinc\mathrm{sinc}sinc funkcí v osách $y$ a $z$
• $k=2\pi /\lambda$ – vlnové číslo

101. Napište, za jakých podmínek je možné použít optickou (paprskovou) optiku.

?

• Optickou (paprskovou) optiku lze použít, pokud rozměry překážek a optických členů jsou výrazně větší než vlnová délka světla, tedy: $d\gg \lambda$
• Rozměry těles se kterými světlo reaguje musí být daleko větší než vlnová délka světla

102. Jak je definována optická dráha?

? Optická dráha je vzdálenost, kterou by urazilo světlo za stejnou dobu ve vakuu $l=ns$

• $l\dots$ optická dráha
• $n\dots$ index lomu prostředí
• $s\dots$ uražená dráha v geometrickém prostředí

103. Jak zní Fermatův princip.

? Světlo se šíří podél takových paprsků, že dráhu mezi dvěma body urazí za nejkratší čas.

104. Pomocí Fermatova principu odvoďte zákon odrazu pro světelné paprsky. todo

105. Pomocí Fermatova principu odvoďte zákon lomu pro světelné paprsky. todo

106. Jaké vlastnosti má splňovat ideální optická soustava?

? Ideální optická soustava (paraxiální, bez vad) splňuje tyto vlastnosti:

• Každému předmětu odpovídá právě jeden obraz
• Každé předmětové přímce odpovídá právě jedna obrazová přímka
• Každé předmětové rovině odpovídá právě jedna obrazová rovina.
• Paprsky jsou blízké hlavní optické ose (paraxiální aproximace)
• Soustava je bez aberací, obraz není deformován

107. Co je to zobrazovací rovnice?

?

• Zobrazovací rovnice je vztah mezi polohou objektu a polohou obrazu vytvořeného optickou soustavou.
• Je to rovnice popisující zobrazení paprsku ze zdroje na obraz.
• Pro tenkou čočku platí klasická zobrazovací rovnice:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}$

• $f\dots$ ohnisková vzdálenost čočky
• $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky
• $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky

108. Co je to paraxiální aproximace?

? Paraxiální aproximace je aproximace v geometrické optice, při které jsou všechny paprsky považovány za blízké optické ose a úhly s optickou osou jsou malé:

• $L_i\approx s_i$
• $L_o\approx s_o$
• $\sin \theta =\theta$
• $\tan \theta =\theta$
• $\cos \theta =1$ $\theta \dots$ úhel paprsku s optickou osou $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky $L_o\dots$​ dráha paprsku od objektu k čočce $L_i\dots$ dráha paprsku od čočky k obrazu

109. Co jsou to kardinální body optické soustavy? Jak jsou definovány? todo

110. Odvoďte přenosovou matici pro volné šíření paprsku homogenním prostředím. todo

111. Napište obrazovou rovnici pro tenkou spojnou čočku, tedy spojku.

? $\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}$

• $f\dots$ ohnisková vzdálenost čočky ($f>0$, $1/f=\phi >0\dots$optická mohutnost)
• $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky
• $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky

112. Napište vztah vyjadřující Stefanův-Boltzmannův zákon.

? Pro absolutně černá tělesa: $M^{e0}=\sigma T^4$ Obecně: $M^e=\epsilon \sigma T^4$ $\sigma \dots$ Stefan–Boltzmannova konstanta $T\dots$ termodynamická teplota $[\text{K}]$ $M^{e0}\dots$ intenzita vyzařování černého tělesa $M^e\dots$ intenzita vyzařování reálného tělesa $\epsilon \dots$ emisivita reálného tělesa ($0\le \epsilon \le 1$)

113. Jak je definováno absolutně černé těleso a jakým způsobem se při experimentech realizuje.

? Definice:

• Absolutně černé těleso je takové těleso které pohltí veškeré záření které na něj dopadá a má tedy pohltivost $\alpha =1$
• Absolutně černé těleso je ideální těleso, které pohlcuje veškeré dopadající záření bez odrazu a propustnosti a vyzařuje záření s maximální možnou intenzitou při dané teplotě.
• Absolutně černé těleso je těleso, které pohltí nezávisle na vlnové délce veškeré dopadající záření na jeho povrch ⇒ pro absolutně černé těleso musí platit, že $\alpha ={\alpha }_{\nu }={\alpha }_{\lambda }=1$ ($R=0$) Realizace:
• V experimentech realizujeme např. nádobou s dírou kde vnitřek dané nádoby je pokrytý pohlcujícím materiálem. Samotný vstup této nádoby je v experimentech považován za absolutně černé těleso.
• Absolutně černé těleso lze aproximovat malým otvorem do dutiny se začerněnými vnitřními stěnami. Díky skutečnosti, že otvor do dutiny je malý a stěny dutiny jsou navrženy tak, aby maximalizovaly počet odrazů dopadajícího záření, pak dopadající záření, které pronikne otvorem do dutiny, se po několika odrazech pohltivostí stěn natolik zeslabí, že se z dutiny téměř žádné nedostane ven, a tedy otvor s dutinou bude představovat téměř absolutně černé těleso (přesněji otvor dutiny).

114. Napište Rayleighův-Jeansův zákon vyzařování černého tělesa.

? $w_{\nu }=\frac{8\pi {\nu }^3}{c_0^3}{k}_{B}T$ $w_{\lambda }=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}{k}_{B}T$ $w_{\nu }\dots$ hustota energie na jednotku objemu a frekvenci $w_{\lambda }\dots$ spektrální hustota energie vyzařování $\nu \dots$ frekvence záření $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta $T\dots$ termodynamická teplota $[\text{K}]$ $\lambda \dots$ vlnová délka

115. Napište vztah vyjadřující Gibbsovo kanonické rozdělení spolu s definicí partiční sumy.

? Gibbsovo kanonické rozdělení popisuje pravděpodobnost, že soustava s energií $E_i$ je ve stavu $i$ při termodynamické teplotě $T$: $P_i=\frac{e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}{Z}$ Partiční suma: $Z={\sum }_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$

• $P_i\dots$ pravděpodobnost obsazení $i$ - tého mikrostavu
• $E_i\dots$ energie $i$ - tého stavu
• $k_B\dots$ Boltzmanova konstana
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

116. Odvoďte vztah pro výpočet střední energie pomocí partiční sumy.

? $⟨E⟩={\sum }_i{p}_i{E}_i={\sum }_i\frac{e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}{Z}{E}_i$

• $⟨E⟩\dots$ střední energie soustvy
• $E_i\dots$ energie $i$ - tého stavu
• $k_B\dots$ Boltzmanova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

117. Jak zní princip maximální entropie?

?

• Princip maximální entropie říká, že v izolované soustavě dosahuje rovnovážný stav takového uspořádání mikrostavů, které maximalizuje entropii $S$, při zachování všech makroskopických omezení (energie, objem, počet částic).
• Pokud máme o rozdělení pravděpodobnosti jen částečné informace tak nejpravděpodobnější rozdělení bude to, které má nejvyšší energii.

118. Napište vztah pro statistickou entropii.

? $S(E,V,N)=k_b\ln \Omega (E,V,N)$

• $S\dots$ entropie soustavy
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $\Omega \dots$ počet mikrostavů odpovídajících makrostavu soustavy
• $E\dots$ energie systému
• $V\dots$ objem
• $N\dots$ počet částic

119. Napište vztah pro Boltzmannovo rozdělení.

? $p_i=\frac{1}{Z}{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ $Z={\sum }_{i=1}^N{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$

• $p_i\dots$ pravděpodobnost obsazení $i$-tého stavu částice
• $E_i\dots$ energie $i$-tého stavu
• $k_B\dots$ pravděpodobnost obsazení iii-tého stavu
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

120. Napište Planckův vyzařovací zákon.

? $w_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi {\nu }^2}{c_0^3}\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}$ $w_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{8\pi h{c}_0}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{h{c}_0}{k_{B}T\lambda }}-1}$

• $w_{\nu }\dots$ spektrální hustota energie (energie na jednotku objemu a frekvence)
• $w_{\nu }\dots$ spektrální hustota energie (energie na jednotku objemu a vlnové délky)
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $\nu \dots$ frekvence
• $\lambda \dots$ rychlost světla ve vakuu
• $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu

121. Z Planckova vyzařovacího zákona odvoďte Rayleighův-Jeansův a Wienův vyzařovací zákon. todo

122. Co je to fotoelektrický jev?

?

• Fotoelektrický jev je fyzikální jev, při kterém dochází k uvolňování (emise) elektronů z povrchu látky vlivem dopadajícího elektromagnetického záření (nejčastěji světla) o dostatečně vysoké frekvenci.
• Fotoelektrický jev (fotoefekt) je fyzikální jev, při kterém jsou elektrony uvolňovány z obalu atomu a následně mohou být emitovány (vyzařovány) z látky (nejčastěji z kovu) v důsledku absorpce elektromagnetického záření látkou.

123. Napište vztah pro kinetickou energii emitovaných elektronů při fotoelektrickém jevu.

? $E_{k\text{max}}=h\nu -h{\nu }_m=h(\nu -{\nu }_m)$

• $E_{k,\text{max}}\dots$ maximální kinetická energie emitovaných elektronů
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• ${\nu }_m\dots$ mezní (prahová) frekvence materiálu

124. Napište vztahy pro hybnost a energii fotonu.

? $E=h\nu =\hslash \omega$ $p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu }{c}=\frac{\hslash \omega }{c}=\hslash k=\frac{h}{\lambda }$

• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $E\dots$ energie fotonu
• $p\dots$ hybnost fotonu
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\omega =2\pi \nu \dots$
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\lambda \dots$ vlnová délka
• $k=\frac{2\pi }{\lambda }\dots$ vlnové číslo/vektor
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu

125. Vysvětlete Comptonův jev.

?

• Comptonův jev je jev, při kterém dochází k rozptylu fotonu na (téměř) volném elektronu, přičemž se zvětší vlnová délka rozptýleného záření. Tento jev je důsledkem částicové povahy světla a zákona zachování energie a hybnosti.
• Děj při kterém se po srážce elmag. záření s atomy pevné látky mění vlnová délka záření v důsledku předání své energie.

126. Napište Comptonovu rovnici.

? $\Delta \lambda ={\lambda }^{\prime }-{\lambda }_0=\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos \theta )=\frac{2h}{m_{0}c}{\sin }^2\frac{\theta }{2}$

• ${\lambda }_0\dots$ vlnová délka dopadajícího fotonu
• ${\lambda }^{\prime }\dots$ vlnová délka rozptýleného fotonu
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $m_0\dots$ klidová hmotnost elektronu
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu
• $\theta \dots$ úhel rozptylu fotonu

127. Vysvětlete podstatu produkce páru elektron-pozitron.

?

• Produkce páru elektron–pozitron je kvantově-relativistický jev, při kterém se foton s dostatečně vysokou energií přemění na pár částic $e^{-}$ a $e^{+}$ v elektromagnetickém poli jádra (případně jiného tělesa).
• Foton nemůže ve vakuu vytvořit pár sám, protože by nebyl zachován zákon zachování hybnosti.
• Přítomnost jádra umožní odvod přebytečné hybnosti.
• Energie fotonu se rozdělí na:
  • klidové energie částic
  • jejich kinetické energie
• Produkce páru nastává typicky u $\gamma$ - záření.

128. Uveďte příkladu demonstrující jak vlnový, tak korpuskulární charakter světla.

?

• Vlnový charakter světla:
  • Odraz
  • Difrakce
• Korpuskulární (částicový) charakter světla:
  • Fotoelektrický jev
  • Produkce páru elektron–pozitron

129. Popište Rutherfordův model atomu a vysvětlete jeho nedostatek.

?

• Popis modelu:
  • Rutherfordův model atomu popisuje atom jako soustavu, ve které je kladně nabité, velmi malé a hmotné jádro soustředěno ve středu atomu a elektrony obíhají kolem jádra podobně jako planety kolem Slunce.
  • Rutherfordův(planetární) model předpokládá že přitažlivá elektrická síla mezi jádrem a elektronem je vykompenzovaná odstředivou silou působící na elektron.
• Nedostatek:
  • Podle klasické elektrodynamiky musí zrychlený elektron vyzařovat elektromagnetické záření, a tím ztrácet energii. Elektron by proto po spirále dopadl do jádra, což by vedlo k nestabilitě atomu.
  • Model nedokáže vysvětlit čárová spektra atomů.
  • Nevýhodou je že podle elmag. teorie vyzařují elektrony energii v podobě elmag. vln. V planetárním modelu jsou elektrony urychlovány dostředivou silou, tedy časem by ztrácely svojí energii až by spadly na jádro a atom by se stal nestabilním.
  • Každá nabitá částice, která se pohybuje se zrychlením, musí emitovat elmag. záření. Elektron se pohybuje s dostředivým zrychlením ⇒ musí emitovat elmag. záření ⇒ ztrácí svoji energii a poloměr jeho oběhu kolem jádra by se měl postupně zmenšovat, až by došlo k jeho dopadu na jádro. Čím je elektron blíže jádru, tím je kmitočet jeho oběhu vyšší.

130. Popište Bohrův model atomu a odvoďte vztah pro hladiny energie atomu vodíku na základě tohoto modelu.

? Popis:

• Elektrony se pohybují po kruhových drahách kolem jádra, aniž by ztrácely energii vyzařováním.
• Stacionární stavy (dráhy) jsou povoleny, pokud je moment hybnosti kvantován: $m_{e}vr=n\hslash \iff 2\pi rmv=nh$ $n=1,2,3,\dots$
• Přechod elektronu mezi drahami způsobuje emisi nebo absorpci fotonu s energií: $E_{\gamma }=h\nu =E_i-E_f$ todo Odvození hladiny energie

131. Co jsou to částicové, resp. de Broglieho vlny. Pomocí těchto vln přepište Bohrovu podmínku.

? Popis:

• Částici o velikosti hybnosti $p=mv$ můžeme přisoudit vlnovou délku (de Broglieovu vlnovou délku) $\lambda$. Takže na částici lze také pohlížet jako na vlnu, kterou budeme nazývat materiálová vlna (de Broglieova vlna). Zdůrazněme, že obě tyto protichůdné vlastnosti (částice-vlna) nikdy nemůžeme pozorovat současně.
• Jsou to materiálové vlny. De Broglie přišel s nápadem přisoudit částicím vlnový charakter tedy částici s hybností přisoudíme vlnovou délku $\lambda =\frac{h}{p}$
• Jsou to materiálové vlny. De Broglie přišel s nápadem přisoudit částicím vlnový charakter tedy částici s hybností přisoudíme vlnovou délku $\lambda =\frac{h}{p}$, tyto vlny se nazývají de Broglieho vlny nebo částicové vlny.

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{m_{e}v}$, $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ $m_{e}vr=n\hslash \Rightarrow m_{e}vr=n\frac{h}{2\pi }\Rightarrow 2\pi r=n\frac{h}{m_{e}v}\Rightarrow 2\pi r=n\lambda$ kde $n=1,2,3,\dots$

132. Čemu se rovná fázová a grupová rychlost částicových (de Broglieho) vln? Napište Heisenbergovy relace neurčitosti a vysvětlete důsledky jejich platnosti.

? Grupová rychlost: $v_g=\frac{c^{2}p}{E}=\frac{m{c}^{2}v}{m{c}^2}=v$ Fázová rychlost: $v_f=\frac{\omega }{k}=\frac{\hslash \omega }{\hslash k}=\frac{E}{p}=\frac{m{c}^2}{mv}=\frac{c^2}{v}$

• $v\dots$ rychlost částice
• $\omega \dots$ úhlová frekvence vlny
• $k\dots$ vlnový vektor/číslo
• $E\dots$ energie částice
• $p\dots$ hybnost částice Heisenbergovy relace neurčitosti:
• Poloha a hybnost:
  • Nelze současně přesně určit polohu a hybnost částice. \begin{align*}\Delta x\Delta p_x &\ge \frac{\hslash}{2},& \Delta y\Delta p_y &\ge \frac{\hslash}{2},& \Delta z\Delta p_z &\ge \frac{\hslash}{2}\end{align*}
• Energie a čas:
  • Nelze současně přesně určit energii a čas jevu. $\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$

133. Napište nestacionární Schrödingerovu rovnici.

? Trojrozměrný tvar: $j\hslash \frac{\partial \psi (\vec{r},t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi (\vec{r},t)+U(\vec{r},t)\psi (\vec{r},t)$ Jednorozměrný tvar: $j\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}+U(x,t)\psi (x,t)$

• $\psi \dots$ vlnová funkce částice
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$​ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ – hmotnost částice
• $U\dots$ – potenciální energie

134. Napište stacionární Scrödingerovu rovnici.

? Trojrozměrný tvar: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\varphi (\vec{r})+U(\vec{r})\varphi (\vec{r})=E\varphi (\vec{r})$ Jednorozměrný tvar: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\varphi (x)}{\partial x^2}+U(x)\varphi (x)=E\varphi (x)$

• $\psi \dots$ vlnová funkce částice
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$​ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ hmotnost částice
• $U\dots$ potenciální energie
• $E\dots$ vlastní hodnota energie stavu

135. Napište operátor hybnosti a energie.

? Operátor hybnosti: $\hat{\vec{p}}=-j\hslash \vec{\nabla }$ Operátor energie (Hamiltonián): $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+U(\vec{r})$

• $\hat{\vec{p}}\dots$ operátor hybnosti
• $\hat{H}\dots$ Hamiltonián
• $U\dots$ potenciální energie
• $\hslash \dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ hmotnost částice

136. V čem spočívá interpretace vlnové funkce, která je řešením Schrödingerovy rovnice? Napište kalibrační podmínku pro vlnovou funkci. todo

137. Co je to tunelový jev?

• Tunelovým jevem rozumíme průchod částice potenciálovým valem, kdy $E<U_0$. Uvažujme pravoúhlý potenciálový val šířky a a výšky $U_0>0$.

• Jde o průchod částice potenciálovou barierou, která je vyšší než energie částice.

• Tunelový jev je kvantově mechanický jev, při kterém má částice nenulovou pravděpodobnost projít potenciálovou bariérou, i když její energie je menší než výška bariéry, tedy $E<U_0$

• $E\dots$ energie částice

• $U_0\dots$ výška potenciálové bariéry

138. Co chápeme komutátorem dvou operátorů? (napište definiční vztah)
139. Napište kanonické komutátorové vztahy.
140. Ukažte, že operátory jednotlivých složek momentu hybnosti jsou nekomutativní.
141. Dokažte, že dva komutativní operátory mají společnou vlastní funkci.
142. Dokažte, že komutátory kvadrátu velikosti hybnosti a složek momentů hybnosti jsou komutativní.
143. Napište vztah pro kvadrát velikosti momentu hybnosti a jeho z-ové složky.
144. Odvoďte vztah pro orbitální magnetický moment.
145. Napište jak je kvantován kvadrát velikosti a z-ová složka orbitálního a vlastního momentu elektronu.
146. Pomocí Bohrova magnetonu vyjádřete z-ovou složku magnetického momentu orbitálního a vlastního.
147. Napište základní kvantová čísla elektronu spolu s podmínkami stanovujícími hodnoty, kterých mohou nabývat.
148. Jak zní Pauliho vylučovací princip?
149. Jaké se používá aproximace pro popis atomů s více elektrony?
150. Jak je definována slupka a podslupka atomu. Jaká se používá notace pro jejich značení? Dále nepište kolik může elektronů se může nacházet ve slupkách a jednotlivých podslupkách.
151. Jaké rozlišujeme chemické vazby?
152. Vysvětlete vznik energetických pásů.
153. Napište Fermiho-Dirackovo rozdělení energií.
154. Pomocí pásové teorie vysvětlete rozdílné chování vodičů, izolantů a polovodičů.
155. Co je to spontánní a stimulovaná emise?
156. Vysvětlete principiální funkci laseru.
157. Co jsou to fermiony a bosony?
158. Jaké základní interakce mezi částicemi můžeme pozorovat? Porovnejte je co dosahu a relativní síly.
159. Napište co jsou to leptony a jaké leptony rozlišujeme?
160. Napište co jsou to hadrony, jak je dělíme a z jakých částic se dále skládají?
161. Co je to nuklid, izotop, nukleonové (hmotnostní) číslo, neutronové a protonové číslo. Jakou používáme notaci při popisu nuklidů?
162. Napište empiricky zjištěný vztah pro poloměr atomu.
163. Napište hmotnost uhlíku 12C v hmotnostních jednotkách.
164. Jak je definována vazebná energie nuklidu?
165. Nakreslete průběh závislosti vazebné energie na nukleonovém čísle.
166. Nakreslete závislost neutronového čísla na protonovém čísle jednotlivých nuklidů. Vysvětlete odchylku od lineární závislosti.
167. Co je to radioaktivní přeměna (rozpad) a co jsou to radionuklidy?
168. Co je to radioaktivita a jaké radioaktivní přeměny rozlišujeme?
169. Vysvětlete a popište α-přeměnu (rozpad).
170. Vysvětlete a popište β-přeměnu (rozpad).
171. Popište a vysvětlete γ-přeměnu a vnitřní konverzi.
172. Popište elektronu, emisi nukleonů a spontánní štěpení.
173. Co je to radioaktivní rozpadová (přeměnová) řada, a jaké takovéto řady rozlišujeme.
174. Co je to jaderná reakce? Co je to řetězová reakce? Co je to štěpná jaderná reakce? Co je to štěpná řetězová reakce?
175. Popište štěpnou reakci nuklidů používaných v energetice.
176. Co je to řízená a neřízená štěpná reakce?
177. Co ovlivňuje účinnost (výtěžnost) štěpné reakce? Co je to multiplikační faktor?
178. Co chápeme pod pojmem termojaderná fúze?
179. Zapište fúzi pro deuterium a tritium.
180. Co je to Lawsonovo kritérium?