Druhý semestrální test Aosr

Otázky

71. Napište řešení vlnové rovnice pro tlumené rovinné vlny. todo

72. Ukažte, že ve vodivém prostředí můžeme položit objemovou hustotu elektrického náboje rovnu nule. todo

73. Odvoďte zobecněnou vlnovou rovnici (telegrafní rovnici) pro elektrickou intenzitu. todo

74. Odvoďte disperzní relaci pro elektromagnetickou vlnu ve vodivém prostředí. todo

q aosr/m04k6

75. Jaký je geometrický vztah mezi mezi vektory elektrické intenzity, magnetické intenzity a vlnového vektoru.

? aosr/m04k6/m/24rn Vztah mezi nimi: $\frac{\vec{k}}{\omega }\times \vec{E}=\vec{B}$

• $\vec{k}\dots$ vlnový vektor (udává směr šíření vlny)
• $\vec{E}\dots$ elektrická intenzita (směr elektrického pole)
• $\vec{B}\dots$ magnetická indukce ()
• $\vec{k}$ a $\vec{E}$ jsou na sebe kolmé
• $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou na sebe kolmé
• $\vec{B}$ a $\vec{k}$ jsou na sebe kolmé

q aosr/4rth4

76. Je elektromagnetická vlna v izotropním prostředí vlnou podélnou či příčnou? Zdůvodněte.

? aosr/4rth4/m/59hr Elektromagnetická vlna v izotropním prostředí je příčná vlna. Zdůvodnění:

• Vektory elektrické intenzity $\vec{E}$ a magnetické indukce $\vec{B}$ jsou kolmé ke směru šíření vlny $\vec{k}$
• Kmitání pole probíhá kolmo ke směru šíření, tedy příčné vlny

q aosr/2ndsb

77. Napište vztah pro Poyntingův vektor.

? aosr/2ndsb/m/5s8h $\vec{S}(\vec{r},t)=\vec{E}(\vec{r},t)\times \vec{H}(\vec{r},t)$ $\vec{S}\dots$ Poyntingův vektor, hustota toku elektromagnetické energie $[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}]$ $\vec{E}\dots$ vektor elektrické intenzity $[\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{H}\dots$ vektor magnetické intenzity $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}]$

q aosr/76f3i

78. Napište Poyntingovu bilanční rovnici v diferenciálním tvaru.

? aosr/76f3i/m/4n0f Rovnice představuje zákon zachování energie elektromagnetického pole v diferenciálním tvaru $\vec{j}\cdot \vec{E}=-\frac{\partial w}{\partial t}-\nabla \cdot \vec{S}$ $\vec{S}\dots$ Poyntingův vektor, hustota toku elektromagnetické energie $[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}]$ $w\dots$ objemová hustota energie elektromagnetického pole $\vec{E}\dots$ vektor elektrické intenzity $[\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{H}\dots$ vektor magnetické intenzity $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{j}\dots$ hustota elektrického proudu $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}]$

q aosr/7qbp9

79. Jak je zaveden index lomu pro nemagnetická prostředí? Vyjádřete index lomu pomocí relativní permitivity.

? aosr/7qbp9/m/tnbk $n=\frac{c_0}{c}=\frac{\sqrt{\mu \epsilon }}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=\frac{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0{\mu }_r{\epsilon }_r}}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}\stackrel{\text{pro nemag.}}{\Rightarrow }{\mu }_r=1\Rightarrow n=\sqrt{{\epsilon }_r}$ $n\dots$ index lomu prostředí $c\dots$ rychlost světla ve vakuu ${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}\dots$ relativní permitivita prostředí $\epsilon \dots$ permitivita prostředí ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua ${\mu }_r=\frac{\mu }{{\mu }_0}\dots$ relativní permeabilita (pro nemagnetická prostředí ${\mu }_r=1$) $\mu \dots$ permeabilita prostředí ${\mu }_0\dots$ permeabilita vakua $c_0\dots$ rychlost šíření elektromagnetické vlny

q aosr/42ckh

80. Napište zákon odrazu pro elektromagnetické vlny.

? aosr/42ckh/m/7o7n Úhel dopadu je roven úhlu odrazu ${\alpha }_i={\alpha }_r$ ${\alpha }_i\dots$ úhel dopadu ${\alpha }_r\dots$ úhel odrazu

q aosr/2ps9g

81. Napište vztah pro zákon lomu (Snellův zákon) elektromagnetické vlny.

? aosr/2ps9g/m/z150 $n_i\sin \alpha =n_t\sin \beta$ $n_i\dots$ index lomu prvního prostředí $n_t\dots$ index lomu druhého prostředí $\alpha \dots$ úhel dopadu $\beta \dots$ úhel lomu

q aosr/52e2o

82. Co nám vyjadřují Fresnelovy vzorce?

? aosr/52e2o/m/1lov Fresnelovy vzorce vyjadřují odrazové a přenosové (lomové) koeficienty elektromagnetické vlny na rozhraní dvou prostředí v závislosti na úhlu dopadu, indexech lomu a polarizaci vlny.

83. Odvoďte vztah pro Brewsterův úhel. todo

q aosr/30iic

84. Co chápeme pod pojmem polarizace elektromagnetické vlny.

? aosr/30iic/m/408s Polarizace elektromagnetické vlny popisuje časový průběh a orientaci vektoru elektrické intenzity $\vec{E}$ v rovině kolmé ke směru šíření vlny.

85. Odvoďte podmínku pro totální odraz.

q aosr/6g94q

86. Napište vztah pro obecnou eliptickou polarizaci.

? aosr/6g94q/m/399d ${\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)}^2+{\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)}^2-2\frac{E_x{E}_y}{E_{0x}{E}_{0y}}\cos \Delta ={\sin }^2\Delta$ ${\xi }_m=0$ tedy: ${\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)}^2+{\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)}^2=1$ $\Delta =(2m+1)\frac{\pi }{2},|m|=1,2,3,\dots$

q aosr/6jf9t

87. Jaká je podmínka pro lineární polarizaci elektromagnetické vlny.

? aosr/6jf9t/m/6cti $E_y=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}(-1{)}^m{E}_x$ kde $\Delta =m\pi$, $|m|=1,2,3,\dots$

q aosr/7sodo

88. Jaké musí být splněny podmínky pro kruhovou polarizaci elektromagnetické vlny.

? aosr/7sodo/m/2alk $E_x^2+E_y^2=E_0^2$ kde $\Delta =(2m+1)\frac{\pi }{2}$, $|m|=1,2,3,\dots$

q aosr/83f7p

89. Jak definujeme polarizaci pravou (pravotočivou), resp. levou (levotočivou).

? aosr/83f7p/m/5tt8 Díváme-li se proti směru šíření vyšetřované elektromagnetické vlny (tedy z kladného konce osy $z$ směrem ke konci zápornému), může se vektor $\vec{E}$ otáčet:

• ve směru hodinových ručiček (vpravo), pak se mluví o pravotočivé polarizaci $\Delta >0$
• proti směru hodinových ručiček (vlevo), jde o levotočivou polarizaci $\Delta <0$

q aosr/4mj70

90. Jak definujeme intenzitu elektromagnetické vlny (není myšlena elektrická intenzita).

? aosr/4mj70/m/s94u $I=\frac{E_0^2}{2\mu c}$

• $I\dots$ intenzita vlny
• $E_0\dots$ amplituda elektrického pole
• $\mu \dots$ permeabilita prostředí
• $c\dots$ rychlost šíření vlny v daném prostředí

q aosr/7fu8o

91. Co chápeme pod pojmem koherence elektromagnetických vln?

? aosr/7fu8o/m/52lg

• Koherence elektromagnetických vln vyjadřuje schopnost vln vzájemně interferovat, tj. mít mezi sebou stálý fázový vztah v čase a prostoru.
• Koherentní jsou vlnění stejné frekvence, jejichž fázový rozdíl v uvažovaném bodě se s časem nemění. (např. laser)

92. Jakých hodnot může nabývat komplexní stupeň koherence γ(r1, r2, τ ) ≡ γ12(τ )? Co nám vyjadřuje? todo

q aosr/1h9ed

93. Jak se mění fáze elektromagnetické vlny při odrazu na opticky hustším prostředí?

? aosr/1h9ed/m/qrtb

• Fáze bude opačná
• Při odrazu elektromagnetické vlny na rozhraní s opticky hustším prostředím (tj. $n_2>n_1$​) dochází k fázovému skoku o $\pi$, tedy ke změně fáze o $180^{\circ }$. Značení:
• $n_1$​ – index lomu prostředí, z něhož vlna přichází
• $n_2$​ – index lomu opticky hustšího prostředí

q aosr/1o48o

94. Napište podmínku pro pozorování maxim při dvousvazkové interferenci na tenké vrstvě.

? aosr/1o48o/m/4o58 $d{n}_2\cos \beta =(2m+1)\frac{{\lambda }_0}{4}$ kde $m=0,1,2,\dots$ Značení:

• $d\dots$ tloušťka tenké vrstvy
• $n_2\dots$ index lomu vrstvy
• $\beta \dots$ úhel šíření ve vrstvě
• ${\lambda }_0\dots$ vlnová délka ve vakuu
• $m\dots$ řád interference

q aosr/sldpt

95. Napište podmínku pro pozorování minim při dvousvazkové interferenci na tenké vrstvě.

? aosr/sldpt/m/3fhq $d{n}_2\cos \beta =2m\frac{{\lambda }_0}{4}$ kde $m=0,1,2,\dots$

• $d\dots$ tloušťka tenké vrstvy
• $n_2\dots$ index lomu vrstvy
• $\beta \dots$ úhel šíření ve vrstvě
• ${\lambda }_0\dots$ vlnová délka ve vakuu
• $m\dots$ řád interference

q aosr/58ljh

96. Co chápeme pod pojmem difrakce vlny?

? aosr/58ljh/m/1nhj

• Difrakce vlny je jev, při kterém se vlnění ohýbá kolem překážek nebo se šíří do oblastí za překážkou, kde by podle geometrické optiky světlo nemělo být.
• Šíření světla do oblasti geometrického stínu. Jinými slovy jev spojený s odchýlením světla od jeho přímočarého pohybu, kdy tato odchylka nemůže být vysvětlena odrazem, lomem či spojitou prostorovou závislostí indexu lomu.

q aosr/1rhn9

97. Napište Huygensův-Fresnelův princip.

? aosr/1rhn9/m/7dm7

• Podle Huygensova-Fresnelova principu každý bod čela dopadající (primární) vlny $M$ (přesněji elementární ploška, ve které se tento bod nachází) se stává zdrojem sekundárních kulových (sférických) vln, jež se na stínítku skládají, přičemž jejich amplituda je úměrná komplexní amplitudě dopadající primární vlny $\widehat{{\mathcal{E}}_0}$ a současně je úměrná velikosti oblasti $\text{d}S$, která kulovou vlnu vyzařuje.

q aosr/4v3cm

98. Napište difrakční integrál v obecném tvaru pro Fresnelovu aproximaci (Fresnelovu difrakci).

? aosr/4v3cm/m/agj7 $\hat{\mathcal{E}}(P)=-\frac{jk{\hat{\mathcal{E}}}_0}{2\pi }{\iint }_{S_A}K(\theta )\frac{e^{jkr}}{r}\text{d}S$ kde $K(\theta )\approx 1$

• $\hat{\mathcal{E}}(P)$ – komplexní amplituda elektrické intenzity v bodě $P$
• ${\hat{\mathcal{E}}}_0$ – amplituda dopadající rovinné vlny
• $r_0$ – vzdálenost mezi středem apertury a bodem PPP
• $k=2\pi /\lambda$ – vlnové číslo

q aosr/1mh5a

99. Napište difrakční integrál v obecném tvaru pro Fraunhoferovu difrakci (Fraunhoferovu aproximaci).

? aosr/1mh5a/m/2ceo $\hat{\mathcal{E}}(P)=-\frac{jk{\hat{\mathcal{E}}}_0}{2\pi }{\iint }_{S_A}K(\theta )\frac{e^{jk{r}_0}}{r_0}\text{d}S$ kde $K(\theta )\approx 1$, $r\approx r_0$

• $\hat{\mathcal{E}}(P)$ – komplexní amplituda elektrické intenzity v bodě $P$
• ${\hat{\mathcal{E}}}_0$ – amplituda dopadající rovinné vlny
• $r_0$ – vzdálenost mezi středem apertury a bodem $P$
• $k=2\pi /\lambda$ – vlnové číslo

q aosr/496k3

100. Napište difrakční integrál pro Fraunhoferovu difrakci pro případ kolmého dopadu rovinné vlny na stínítko s obdélníkovým otvorem o stranách a, b.

? aosr/496k3/m/h0b8 $\hat{\mathcal{E}}(P)=-\frac{jk{S}_A{e}^{jk{r}_0}}{2\pi r_0}{\hat{\mathcal{E}}}_0\frac{\sin \alpha }{\alpha }\frac{\sin \beta }{\beta }$ kde $\alpha =\frac{k{y}_{0}a}{2r_0}$, $\beta =\frac{k{z}_{0}b}{2r_0}$

• $\hat{\mathcal{E}}(P)$ – komplexní amplituda elektrické intenzity v bodě $P$
• ${\hat{\mathcal{E}}}_0$ – amplituda dopadající rovinné vlny
• $S_A=ab$ – plocha otvoru
• $r_0$ – vzdálenost mezi středem apertury a bodem $P$
• $\alpha =\frac{k{y}_{0}a}{2r_0}$, $\beta =\frac{k{z}_{0}b}{2r_0}$​ – argumenty sinc\mathrm{sinc}sinc funkcí v osách $y$ a $z$
• $k=2\pi /\lambda$ – vlnové číslo

q aosr/7bu21

101. Napište, za jakých podmínek je možné použít optickou (paprskovou) optiku.

? aosr/7bu21/m/6b74

• Optickou (paprskovou) optiku lze použít, pokud rozměry překážek a optických členů jsou výrazně větší než vlnová délka světla, tedy: $d\gg \lambda$
• Rozměry těles se kterými světlo reaguje musí být daleko větší než vlnová délka světla

q aosr/3nqji

102. Jak je definována optická dráha?

? aosr/3nqji/m/5p1r Optická dráha je vzdálenost, kterou by urazilo světlo za stejnou dobu ve vakuu $l=ns$

• $l\dots$ optická dráha
• $n\dots$ index lomu prostředí
• $s\dots$ uražená dráha v geometrickém prostředí

q aosr/6gb1t

103. Jak zní Fermatův princip.

? aosr/6gb1t/m/6ovp Světlo se šíří podél takových paprsků, že dráhu mezi dvěma body urazí za nejkratší čas.

104. Pomocí Fermatova principu odvoďte zákon odrazu pro světelné paprsky. todo

105. Pomocí Fermatova principu odvoďte zákon lomu pro světelné paprsky. todo

q aosr/2rr77

106. Jaké vlastnosti má splňovat ideální optická soustava?

? aosr/2rr77/m/71v2 Ideální optická soustava (paraxiální, bez vad) splňuje tyto vlastnosti:

• Každému předmětu odpovídá právě jeden obraz
• Každé předmětové přímce odpovídá právě jedna obrazová přímka
• Každé předmětové rovině odpovídá právě jedna obrazová rovina.
• Paprsky jsou blízké hlavní optické ose (paraxiální aproximace)
• Soustava je bez aberací, obraz není deformován

q aosr/orc0f

107. Co je to zobrazovací rovnice?

? aosr/orc0f/m/aa9f

• Zobrazovací rovnice je vztah mezi polohou objektu a polohou obrazu vytvořeného optickou soustavou.
• Je to rovnice popisující zobrazení paprsku ze zdroje na obraz.
• Pro tenkou čočku platí klasická zobrazovací rovnice: $\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}$
• $f\dots$ ohnisková vzdálenost čočky
• $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky
• $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky

q aosr/64l0s

108. Co je to paraxiální aproximace?

? aosr/64l0s/m/7b77 Paraxiální aproximace je aproximace v geometrické optice, při které jsou všechny paprsky považovány za blízké optické ose a úhly s optickou osou jsou malé

• $L_i\approx s_i$
• $L_o\approx s_o$
• $\sin \theta =\theta$
• $\tan \theta =\theta$
• $\cos \theta =1$

$\theta \dots$ úhel paprsku s optickou osou $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky $L_o\dots$​ dráha paprsku od objektu k čočce $L_i\dots$ dráha paprsku od čočky k obrazu

109. Co jsou to kardinální body optické soustavy? Jak jsou definovány? todo

110. Odvoďte přenosovou matici pro volné šíření paprsku homogenním prostředím. todo

q aosr/4es6u

111. Napište obrazovou rovnici pro tenkou spojnou čočku, tedy spojku.

? aosr/4es6u/m/56fo $\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}$

• $f\dots$ ohnisková vzdálenost čočky ($f>0$, $1/f=\phi >0\dots$optická mohutnost)
• $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky
• $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky

q aosr/7ms8t

112. Napište vztah vyjadřující Stefanův-Boltzmannův zákon.

? aosr/7ms8t/m/4pd0 Pro absolutně černá tělesa: $M^{e0}=\sigma T^4$ Obecně: $M^e=\epsilon \sigma T^4$ $\sigma \dots$ Stefan–Boltzmannova konstanta $T\dots$ termodynamická teplota $[\text{K}]$ $M^{e0}\dots$ intenzita vyzařování černého tělesa $M^e\dots$ intenzita vyzařování reálného tělesa $\epsilon \dots$ emisivita reálného tělesa ($0\le \epsilon \le 1$)

q aosr/29bu7

113. Jak je definováno absolutně černé těleso a jakým způsobem se při experimentech realizuje.

? aosr/29bu7/m/7aq0 Definice:

• Absolutně černé těleso je takové těleso které pohltí veškeré záření které na něj dopadá a má tedy pohltivost $\alpha =1$
• Absolutně černé těleso je ideální těleso, které pohlcuje veškeré dopadající záření bez odrazu a propustnosti a vyzařuje záření s maximální možnou intenzitou při dané teplotě.
• Absolutně černé těleso je těleso, které pohltí nezávisle na vlnové délce veškeré dopadající záření na jeho povrch ⇒ pro absolutně černé těleso musí platit, že $\alpha ={\alpha }_{\nu }={\alpha }_{\lambda }=1$ ($R=0$) Realizace:
• V experimentech realizujeme např. nádobou s dírou kde vnitřek dané nádoby je pokrytý pohlcujícím materiálem. Samotný vstup této nádoby je v experimentech považován za absolutně černé těleso.
• Absolutně černé těleso lze aproximovat malým otvorem do dutiny se začerněnými vnitřními stěnami. Díky skutečnosti, že otvor do dutiny je malý a stěny dutiny jsou navrženy tak, aby maximalizovaly počet odrazů dopadajícího záření, pak dopadající záření, které pronikne otvorem do dutiny, se po několika odrazech pohltivostí stěn natolik zeslabí, že se z dutiny téměř žádné nedostane ven, a tedy otvor s dutinou bude představovat téměř absolutně černé těleso (přesněji otvor dutiny).

q aosr/1tpc7

114. Napište Rayleighův-Jeansův zákon vyzařování černého tělesa.

? aosr/1tpc7/m/5tcp $w_{\nu }=\frac{8\pi {\nu }^3}{c_0^3}{k}_{B}T$ $w_{\lambda }=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}{k}_{B}T$ $w_{\nu }\dots$ hustota energie na jednotku objemu a frekvenci $w_{\lambda }\dots$ spektrální hustota energie vyzařování $\nu \dots$ frekvence záření $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta $T\dots$ termodynamická teplota $[\text{K}]$ $\lambda \dots$ vlnová délka

q aosr/1kpqo

115. Napište vztah vyjadřující Gibbsovo kanonické rozdělení spolu s definicí partiční sumy.

? aosr/1kpqo/m/7q38 Gibbsovo kanonické rozdělení popisuje pravděpodobnost, že soustava s energií $E_i$ je ve stavu $i$ při termodynamické teplotě $T$: $P_i=\frac{e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}{Z}$ Partiční suma: $Z={\sum }_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$

• $P_i\dots$ pravděpodobnost obsazení $i$ - tého mikrostavu
• $E_i\dots$ energie $i$ - tého stavu
• $k_B\dots$ Boltzmanova konstana
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

q aosr/5h6c5

116. Odvoďte vztah pro výpočet střední energie pomocí partiční sumy.

? aosr/5h6c5/m/6tr2 $⟨E⟩={\sum }_i{p}_i{E}_i={\sum }_i\frac{e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}{Z}{E}_i$

• $⟨E⟩\dots$ střední energie soustvy
• $E_i\dots$ energie $i$ - tého stavu
• $k_B\dots$ Boltzmanova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

q aosr/7onb9

117. Jak zní princip maximální entropie?

? aosr/7onb9/m/52ea

• Princip maximální entropie říká, že v izolované soustavě dosahuje rovnovážný stav takového uspořádání mikrostavů, které maximalizuje entropii $S$, při zachování všech makroskopických omezení (energie, objem, počet částic).
• Pokud máme o rozdělení pravděpodobnosti jen částečné informace tak nejpravděpodobnější rozdělení bude to, které má nejvyšší energii.

q aosr/7dskv

118. Napište vztah pro statistickou entropii.

? aosr/7dskv/m/z426 $S(E,V,N)=k_b\ln \Omega (E,V,N)$

• $S\dots$ entropie soustavy
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $\Omega \dots$ počet mikrostavů odpovídajících makrostavu soustavy
• $E\dots$ energie systému
• $V\dots$ objem
• $N\dots$ počet částic

q aosr/33tgj

119. Napište vztah pro Boltzmannovo rozdělení.

? aosr/33tgj/m/3igo $p_i=\frac{1}{Z}{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ $Z={\sum }_{i=1}^N{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$

• $p_i\dots$ pravděpodobnost obsazení $i$-tého stavu částice
• $E_i\dots$ energie $i$-tého stavu
• $k_B\dots$ pravděpodobnost obsazení iii-tého stavu
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

q aosr/1r07a

120. Napište Planckův vyzařovací zákon.

? aosr/1r07a/m/3o6j $w_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi {\nu }^2}{c_0^3}\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}$ $w_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{8\pi h{c}_0}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{h{c}_0}{k_{B}T\lambda }}-1}$

• $w_{\nu }\dots$ spektrální hustota energie (energie na jednotku objemu a frekvence)
• $w_{\nu }\dots$ spektrální hustota energie (energie na jednotku objemu a vlnové délky)
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $\nu \dots$ frekvence
• $\lambda \dots$ rychlost světla ve vakuu
• $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu

121. Z Planckova vyzařovacího zákona odvoďte Rayleighův-Jeansův a Wienův vyzařovací zákon. todo

q aosr/3fv1l

122. Co je to fotoelektrický jev?

? aosr/3fv1l/m/6kjs

• Fotoelektrický jev je fyzikální jev, při kterém dochází k uvolňování (emise) elektronů z povrchu látky vlivem dopadajícího elektromagnetického záření (nejčastěji světla) o dostatečně vysoké frekvenci.
• Fotoelektrický jev (fotoefekt) je fyzikální jev, při kterém jsou elektrony uvolňovány z obalu atomu a následně mohou být emitovány (vyzařovány) z látky (nejčastěji z kovu) v důsledku absorpce elektromagnetického záření látkou.

q aosr/7ctia

123. Napište vztah pro kinetickou energii emitovaných elektronů při fotoelektrickém jevu.

? aosr/7ctia/m/31p5 $E_{k\text{max}}=h\nu -h{\nu }_m=h(\nu -{\nu }_m)$

• $E_{k,\text{max}}\dots$ maximální kinetická energie emitovaných elektronů
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• ${\nu }_m\dots$ mezní (prahová) frekvence materiálu

q aosr/g887v

124. Napište vztahy pro hybnost a energii fotonu.

? aosr/g887v/m/70bf $E=h\nu =\hslash \omega$ $p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu }{c}=\frac{\hslash \omega }{c}=\hslash k=\frac{h}{\lambda }$

• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $E\dots$ energie fotonu
• $p\dots$ hybnost fotonu
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\omega =2\pi \nu \dots$
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\lambda \dots$ vlnová délka
• $k=\frac{2\pi }{\lambda }\dots$ vlnové číslo/vektor
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu

q aosr/2679v

125. Vysvětlete Comptonův jev.

? aosr/2679v/m/z144

• Comptonův jev je jev, při kterém dochází k rozptylu fotonu na (téměř) volném elektronu, přičemž se zvětší vlnová délka rozptýleného záření. Tento jev je důsledkem částicové povahy světla a zákona zachování energie a hybnosti.
• Děj při kterém se po srážce elmag. záření s atomy pevné látky mění vlnová délka záření v důsledku předání své energie.

q aosr/4980i

126. Napište Comptonovu rovnici.

? aosr/4980i/m/1eco $\Delta \lambda ={\lambda }^{\prime }-{\lambda }_0=\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos \theta )=\frac{2h}{m_{0}c}{\sin }^2\frac{\theta }{2}$

• ${\lambda }_0\dots$ vlnová délka dopadajícího fotonu
• ${\lambda }^{\prime }\dots$ vlnová délka rozptýleného fotonu
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $m_0\dots$ klidová hmotnost elektronu
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu
• $\theta \dots$ úhel rozptylu fotonu

q aosr/10kd3

127. Vysvětlete podstatu produkce páru elektron-pozitron.

? aosr/10kd3/m/3uds

• Produkce páru elektron–pozitron je kvantově-relativistický jev, při kterém se foton s dostatečně vysokou energií přemění na pár částic $e^{-}$ a $e^{+}$ v elektromagnetickém poli jádra (případně jiného tělesa).
• Foton nemůže ve vakuu vytvořit pár sám, protože by nebyl zachován zákon zachování hybnosti.
• Přítomnost jádra umožní odvod přebytečné hybnosti.
• Energie fotonu se rozdělí na:
  • klidové energie částic
  • jejich kinetické energie
• Produkce páru nastává typicky u $\gamma$ - záření.

q aosr/uhcut

128. Uveďte příkladu demonstrující jak vlnový, tak korpuskulární charakter světla.

? aosr/uhcut/m/3u28

• Vlnový charakter světla:
  • Odraz
  • Difrakce
• Korpuskulární (částicový) charakter světla:
  • Fotoelektrický jev
  • Produkce páru elektron–pozitron

q aosr/1dnck

129. Popište Rutherfordův model atomu a vysvětlete jeho nedostatek.

? aosr/1dnck/m/9uqs

• Popis modelu:
  • Rutherfordův model atomu popisuje atom jako soustavu, ve které je kladně nabité, velmi malé a hmotné jádro soustředěno ve středu atomu a elektrony obíhají kolem jádra podobně jako planety kolem Slunce.
  • Rutherfordův(planetární) model předpokládá že přitažlivá elektrická síla mezi jádrem a elektronem je vykompenzovaná odstředivou silou působící na elektron.
• Nedostatek:
  • Podle klasické elektrodynamiky musí zrychlený elektron vyzařovat elektromagnetické záření, a tím ztrácet energii. Elektron by proto po spirále dopadl do jádra, což by vedlo k nestabilitě atomu.
  • Model nedokáže vysvětlit čárová spektra atomů.
  • Nevýhodou je že podle elmag. teorie vyzařují elektrony energii v podobě elmag. vln. V planetárním modelu jsou elektrony urychlovány dostředivou silou, tedy časem by ztrácely svojí energii až by spadly na jádro a atom by se stal nestabilním.
  • Každá nabitá částice, která se pohybuje se zrychlením, musí emitovat elmag. záření. Elektron se pohybuje s dostředivým zrychlením ⇒ musí emitovat elmag. záření ⇒ ztrácí svoji energii a poloměr jeho oběhu kolem jádra by se měl postupně zmenšovat, až by došlo k jeho dopadu na jádro. Čím je elektron blíže jádru, tím je kmitočet jeho oběhu vyšší.

q aosr/566k3

130. Popište Bohrův model atomu a odvoďte vztah pro hladiny energie atomu vodíku na základě tohoto modelu.

? aosr/566k3/m/vusn Popis:

• Elektrony se pohybují po kruhových drahách kolem jádra, aniž by ztrácely energii vyzařováním.
• Stacionární stavy (dráhy) jsou povoleny, pokud je moment hybnosti kvantován: $m_{e}vr=n\hslash \iff 2\pi rmv=nh$ $n=1,2,3,\dots$
• Přechod elektronu mezi drahami způsobuje emisi nebo absorpci fotonu s energií: $E_{\gamma }=h\nu =E_i-E_f$ todo Odvození hladiny energie

q aosr/28e9h

131. Co jsou to částicové, resp. de Broglieho vlny. Pomocí těchto vln přepište Bohrovu podmínku.

? aosr/28e9h/m/3h6r Popis:

• Částici o velikosti hybnosti $p=mv$ můžeme přisoudit vlnovou délku (de Broglieovu vlnovou délku) $\lambda$. Takže na částici lze také pohlížet jako na vlnu, kterou budeme nazývat materiálová vlna (de Broglieova vlna). Zdůrazněme, že obě tyto protichůdné vlastnosti (částice-vlna) nikdy nemůžeme pozorovat současně.
• Jsou to materiálové vlny. De Broglie přišel s nápadem přisoudit částicím vlnový charakter tedy částici s hybností přisoudíme vlnovou délku $\lambda =\frac{h}{p}$
• Jsou to materiálové vlny. De Broglie přišel s nápadem přisoudit částicím vlnový charakter tedy částici s hybností přisoudíme vlnovou délku $\lambda =\frac{h}{p}$, tyto vlny se nazývají de Broglieho vlny nebo částicové vlny.

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{m_{e}v}$, $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ $m_{e}vr=n\hslash \Rightarrow m_{e}vr=n\frac{h}{2\pi }\Rightarrow 2\pi r=n\frac{h}{m_{e}v}\Rightarrow 2\pi r=n\lambda$ kde $n=1,2,3,\dots$

q aosr/3eecj

132. Čemu se rovná fázová a grupová rychlost částicových (de Broglieho) vln? Napište Heisenbergovy relace neurčitosti a vysvětlete důsledky jejich platnosti.

? aosr/3eecj/m/bt35 Grupová rychlost: $v_g=\frac{c^{2}p}{E}=\frac{m{c}^{2}v}{m{c}^2}=v$ Fázová rychlost: $v_f=\frac{\omega }{k}=\frac{\hslash \omega }{\hslash k}=\frac{E}{p}=\frac{m{c}^2}{mv}=\frac{c^2}{v}$

• $v\dots$ rychlost částice
• $\omega \dots$ úhlová frekvence vlny
• $k\dots$ vlnový vektor/číslo
• $E\dots$ energie částice
• $p\dots$ hybnost částice Heisenbergovy relace neurčitosti:
• Poloha a hybnost:
  • Nelze současně přesně určit polohu a hybnost částice. \begin{align*}\Delta x\Delta p_x &\ge \frac{\hslash}{2},& \Delta y\Delta p_y &\ge \frac{\hslash}{2},& \Delta z\Delta p_z &\ge \frac{\hslash}{2}\end{align*}
• Energie a čas:
  • Nelze současně přesně určit energii a čas jevu. $\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$

q aosr/5l37j

133. Napište nestacionární Schrödingerovu rovnici.

? aosr/5l37j/m/sne6 Trojrozměrný tvar: $j\hslash \frac{\partial \psi (\vec{r},t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi (\vec{r},t)+U(\vec{r},t)\psi (\vec{r},t)$ Jednorozměrný tvar: $j\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}+U(x,t)\psi (x,t)$

• $\psi \dots$ vlnová funkce částice
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$​ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ – hmotnost částice
• $U\dots$ – potenciální energie

q aosr/5amah

134. Napište stacionární Scrödingerovu rovnici.

? aosr/5amah/m/15d5 Trojrozměrný tvar: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\varphi (\vec{r})+U(\vec{r})\varphi (\vec{r})=E\varphi (\vec{r})$ Jednorozměrný tvar: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\varphi (x)}{\partial x^2}+U(x)\varphi (x)=E\varphi (x)$

• $\psi \dots$ vlnová funkce částice
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$​ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ hmotnost částice
• $U\dots$ potenciální energie
• $E\dots$ vlastní hodnota energie stavu

q aosr/aovkv

135. Napište operátor hybnosti a energie.

? aosr/aovkv/m/1ejo Operátor hybnosti: $\hat{\vec{p}}=-j\hslash \vec{\nabla }$ Operátor energie (Hamiltonián): $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+U(\vec{r})$

• $\hat{\vec{p}}\dots$ operátor hybnosti
• $\hat{H}\dots$ Hamiltonián
• $U\dots$ potenciální energie
• $\hslash \dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ hmotnost částice

136. V čem spočívá interpretace vlnové funkce, která je řešením Schrödingerovy rovnice? Napište kalibrační podmínku pro vlnovou funkci. todo

q

137. Co je to tunelový jev?

• Tunelovým jevem rozumíme průchod částice potenciálovým valem, kdy $E<U_0$. Uvažujme pravoúhlý potenciálový val šířky a a výšky $U_0>0$.

• Jde o průchod částice potenciálovou barierou, která je vyšší než energie částice.

• Tunelový jev je kvantově mechanický jev, při kterém má částice nenulovou pravděpodobnost projít potenciálovou bariérou, i když její energie je menší než výška bariéry, tedy $E<U_0$

• $E\dots$ energie částice

• $U_0\dots$ výška potenciálové bariéry