Zkouška FY2 ALL

Otázky za 1 bod

1. Jaká tři skupenství hmoty rozlišujeme? (1b.)

?

• Pevné
• Kapalné
• Plynné

2. Co jsou to extenzivní a intenzivní veličiny? Uveďte příklady. (1b.)

?

Extensivní veličiny:

dělení mění hodnotu (např. V, S, U, C, atd.)

Intenzivní veličiny:

dělení nemění hodnotu (např. P, T, $\rho$) Značky:

• $P\dots$ tlak
• $V\dots$ objem
• $T\dots$ teplota
• $\rho \dots$ hustota

3. Jak zní I. postulát termodynamiky? (1b.)

? Izolujeme–li termodynamickou soustavu na dostatečně dlouhou dobu od okolí, soustava samovolně přejde do stavu termodynamické rovnováhy. Ve stavu termodynamické rovnováhy soustava zůstane dokud do ní nezasáhneme z vnějšku.

4. Jak zní II. postulát termodynamiky? (1b.)

? Všechny vnitřní TD veličiny soustavy jsou funkcemi vnějších TD veličin a teploty.

5. Jak je definován kvazistatický neboli rovnovážný děj? (1b.)

? stavové veličiny se mění pomalu $\Rightarrow$ TS po celý děj v téměř rovnovážném stavu

6. Jak je definován vratný termodynamický děj? (1b.)

? Rovnovážný děj je vratný (reverzibilní)

• Vratný (reverzibilní) děj je ideální termodynamický děj, který může probíhat v obou směrech tak, že po obrácení směru projde soustava i okolí stejnými rovnovážnými stavy — bez jakýchkoli trvalých změn v soustavě i jejím okolí.

7. Jak zní Nultý zákon termodynamiky? (1b.)

? $\text{Je-li }A\odot C\text{ a }B\odot C\Rightarrow A\odot B\text{ (tranzitivnost).}$

• Jsou-li dvě soustavy A a B každá v tepelné rovnováze se soustavou C, pak jsou i soustavy A a B navzájem v tepelné rovnováze.

8. Napište převodní vztah mezi Celsiovou a termodynamickou (Kelvinovou) stupnicí. (1b.)

? $t=T(kelvin)-273,15{}^{\circ }\text{C}$ Značky:

• $t\dots$ teplota v ${}^{\circ }C$
• $T\dots$ teplota v $K$

9. Jaké rozlišujeme způsoby přenosu energie do či ze soustavy? Popište je. (1b.)

?

• Přenosem tepla
  • Vedením (kondukcí) - interakce mezi částicemi
  • Prouděním (konvekcí) - pohyb částic uvnitř látky (kapaliny a plyny)
  • Tepelnou radiací (sáláním) - emise elektromagnetického záření pohlcované chladnějším tělesem
• Tokem hmoty (částic) - přichází/odchází částice ze soustavy a berou energii/hmotu
• Konáním práce - změna objemu, polohy nebo tvaru soustavy

10. Jak je definována objemová práce. Uveďte příklad. (1b.)

? $\delta W=PdV$ $W_{12}={\int }_{V_1}^{V_2}P(V)dV={\int }_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}dV=nRT\ln \frac{V_2}{V_1}$ Značky:

• $W\dots$ objemová práce
• $P\dots$ tlak
• $V\dots$ objem
• $n\dots$ látkové množství
• $T\dots$ teplota

11. Jakými předpoklady je definován ideální plyn. (1b.)

?

1. Hmotné body
   • hmotnost
   • Nulový objem
   • Zanedbatelný rozměr vůči vzdálenosti mezi nimi
2. Žádné mezimolekulové síly
   • Nepůsobé žádné přitažlivé ani ospudivé síly (krom srážek)
   • Vnitřní energie je pouze kinetická energie
3. Dokonale pružné srážky
   • Při srážkách se zachovává celková kinetická energie a hybnost soustavy

12. Napište vztah mezi tlakem a teplotou pro izochorický děj. (1b.)

? $V=konst\Rightarrow \frac{P}{T}=konst$ - Charlesův zákon. Značky:

• $P\dots$ tlak
• $V\dots$ objem
• $T\dots$ teplota

13. Napište První zákon termodynamiky v diferenciálním tvaru a popište veličiny, které se ve vztahu vyskytují. (1b.)

? $\delta Q=dU+\delta W$

• $\delta Q\dots$ teplo dodané do soustavy (J)
• $dU\dots$ změna vnitřní energie soustavy (J)
• $\delta W\dots$ práce vykonaná soustavou na okolí (J)

14. Napište vztah definující tepelnou kapacitu. (1b.)

? $C=\frac{\delta Q}{dT}\left(\frac{\text{J}}{\text{K}}\right)$

• $C\dots$ tepelná kapacita (J/K)
• $\delta Q\dots$ množství tepla dodané soustavě (J)
• $dT\dots$ infinitesimální změna teploty soustavy (K)

15. Napište vztah definující entalpii. (1b.)

? $H=U+PV$ Značky:

• $H\dots$ entalpie
• $U\dots$ vnitřní energie
• $P\dots$ tlak
• $V\dots$ objem

16. Napište Mayerův vztah. (1b.)

? $C_P-C_V=nR$ $C_{mP}-C_{mV}=R$

• $C_P,C_V\dots$ tepelné kapacity celé soustavy (konst. tlak, konst. objem)
• $C_{mP},C_{mV}\dots$ molární tepelné kapacity (konst. tlak, konst. objem)
• $n\dots$ počet molů
• $R\dots$ univerzální plynová konstanta

17. Napište vztah pro tepelnou účinnost ideálního Carnotova cyklu. (1b.)

? $\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}=1-\frac{T_2}{T_1}<1$

• $T_1\dots$ teplota ohřívače (vysoká teplota)
• $T_2\dots$ teplota chladiče (nízká teplota)
• $\eta \dots$ tepelná účinnost

18. Napište vztah pro statistickou (Boltzmannovu) entropii. (1b.)

? $S(E,V,N)=k_b\ln \Omega (E,V,N)$

• $S\dots$ entropie soustavy
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $\Omega \dots$ počet mikrostavů odpovídajících makrostavu soustavy
• $E\dots$ energie systému
• $V\dots$ objem
• $N\dots$ počet částic

19. Napište Clausiovu nerovnost v diferenciálním tvaru (matematická formulace 2. TD zákona). (1b.)

? $dS\ge \frac{\delta Q}{T}$ Značky:

• $dS\dots$ změna entropie soustavy
• $\delta Q\dots$ Teplo vyměněné mezi soustavou a okolím
• $T\dots$ teplota okolí

20. Napište Clausiovu nerovnost v integrálním tvaru (matematická formulace 2. TD zákona). (1b.)

? $0\ge \oint \frac{\delta Q}{T}$ Značky:

• $\delta Q\dots$ Teplo vyměněné mezi soustavou a okolím
• $T\dots$ teplota okolí
• $=0\dots$ pro vratné kruhové děje
• $<0\dots$ pro nevratné kruhové děje

21. Jak zní Třetí termodynamický zákon. (1b.)

?

• Žádným postupem, ať jakkoli idealizovaným, nelze u žádné soustavy dosáhnout snížení její teploty na hodnotu 0 K konečným počtem operací.
• Pro libovolný izotermický děj platí: ${\lim }_{T\to 0}S=S_0=konst.$

22. Jaké skupenské přeměny rozlišujeme? (1b.)

?

• Tuhnutí - kapalná $\to$ pevná
• Tání - pevná $\to$ kapalná
• Vypařování - kapalná $\to$ plynná
• Kondenzace - plynná $\to$ kapalná
• Sublimace - pevná $\to$ plynná
• Desublimace - plynné $\to$ pevná
• Var - vypařování ale i uvnitř látky nejen na porchu

23. Napište vztah pro délkovou teplotní roztažnost. (1b.)

? $\Delta l=\alpha l_0\Delta t$ $l=l_0(1+\alpha \Delta t)$

• $\Delta l\dots$ změna délky tělesa (m)
• $l_0\dots$ původní délka tělesa při počáteční teplotě (m)
• $\Delta t\dots$ změna teploty (K nebo °C)
• $\alpha \dots$ součinitel délkové teplotní roztažnosti ($K^{-1}$)

24. Napište vztah pro objemovou teplotní roztažnost. (1b.)

? $\Delta V=\beta V_0\Delta t$ $V=V_0(1+\beta \Delta t)$

• $\Delta V\dots$ změna objemu tělesa (m${}^3$)
• $V_0\dots$ původní objem tělesa při počáteční teplotě (m${}^3$)
• $\Delta t\dots$ změna teploty (K nebo °C)
• $\beta \dots$ součinitel objemové teplotní roztažnosti ($K^{-1}$)

25. Napište znění Ekvipartičního teorému. (1b.)

? Ekvipartiční teorém říká: Na každý nezávislý stupeň volnosti připadá energie $\frac{1}{2}{k}_{B}T$ $U=\frac{f}{2}N{k}_{B}T$ Značky:

• $U\dots$ vnitřní energie
• $N\dots$ počet částic ideálního plynu
• $f\dots$ počet stupňů volnosti jedné molekuly
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ absolutní teplota

26. Napište kanonický tvar jednorozměrné vlnové rovnice. (1b.)

? $\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}$ Značky:

• $u(x,t)\dots$ Okamžitá výchylka kmitání v místě $x$ a čase $t$
• $c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}\dots$ Rychlost šíření vlnění
• $x\dots$ Souřadnice směru šíření
• $t\dots$ Čas
• $\tau \dots$ Síla napětí struny
• $\mu \dots$ Délková hustota struny

27. Napište vztah pro fázovou rychlost pro harmonickou vlnu. (1b.)

? $v_f=\frac{\lambda }{T}=\lambda f=\frac{\omega }{k}$ Značení:

• $v_f\dots$ Fázová rychlost šíření vlny
• $\lambda \dots$ Vlnová délka
• $T\dots$ Perioda kmitů
• $f\dots$ Frekvence ($f=1/T$)
• $\omega \dots$ Úhlová frekvence ($\omega =2\pi f$)
• $k\dots$ Vlnové číslo ($k=\frac{2\pi }{\lambda }$)

28. Napište vlnovou rovnici pro rovinnou vlnu postupující pouze jedním směrem. (1b.)

? Postupující kladným směrem (osa $+x$): $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}+\frac{1}{c}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=0$

• $u(x,t)=f(x-ct)$ Postupující záporným směrem (osa $-x$): $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}-\frac{1}{c}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=0$
• $u(x,t)=g(x+ct)$ Značky:
• $c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}\dots$ rychlost šíření vlny
• $u(x,t)\dots$ Okamžitá výchylka kmitání v místě $x$ a čase $t$
• $x\dots$ souřadnice směru šíření
• $t\dots$ čas
• $T\dots$ napětí struny
• $\mu \dots$ délková hustota struny

29. Co chápeme pod pojmem disperze? Jak vypadá obecný zápis disperzní relace? (1b.)

? Disperze znamená, že rychlost šíření vlny závisí na její frekvenci (nebo vlnové délce).

• Obecně: $D(\omega ,k)=0$
• Dostáváme: $\omega =\omega (k)$ $k=k(\omega )$ Značky:
• $D(\omega ,k)\dots$ disperzní rovnice
• $\omega \dots$ kruhový kmitočet
• $k\dots$ vlnové číslo

30. Jaký je rozdíl mezi akustickou rychlostí a rychlostí šíření akustické vlny. (1b.)

?

• Akustická rychlost měří rychlost pohybu/kmitu částic
• Rychlost šíření akustické vlny měří rychlost šíření tlakové vlny/signálu

31. Jak definujeme akustický tlak. (1b.)

? $p^{\prime }(\vec{r},t)$ - změna (porucha) atmosférického tlaku $P_0$ vlivem šíření vlny $P(\vec{r},t)=p(\vec{r},t)+P_0$ - celkový tlak $p=P-P_0$

• $P\dots$ Celkový tlak
• $P_0\dots$ Atmosférický tlak
• $p\dots$ akustický tlak

32. Šíří se v tekutinách vlna podélná či příčná? Zdůvodněte. (1b.)

? Pouze podélná

• Aby probíhalo příčné vlnění, tak vychýlené částice musí mít pevnou vazbu s okolními a táhnout je s sebou při výchylce.
• Podélné se šíří změnami tlaku a hustoty

33. Napište vztah pro výpočet hladiny akustického tlaku. (1b.)

? $L_P=20{\log }_{10}\frac{p_e}{p_r}$ Značky:

• $L_P\dots$ hladina akustického tlaku
• $p_e\dots$ akustický tlak
• $p_r\dots$ referenční tlak

34. Jaký je geometrický vztah mezi mezi vektory elektrické intenzity, magnetické intenzity a vlnového vektoru. (1b.)

? Vztah mezi nimi: $\frac{\vec{k}}{\omega }\times \vec{E}=\vec{B}$

• $\vec{k}\dots$ vlnový vektor (udává směr šíření vlny)
• $\vec{E}\dots$ elektrická intenzita (směr elektrického pole)
• $\vec{B}\dots$ magnetická indukce ()
• $\vec{k}$ a $\vec{E}$ jsou na sebe kolmé
• $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou na sebe kolmé
• $\vec{B}$ a $\vec{k}$ jsou na sebe kolmé

35. Je elektromagnetická vlna v izotropním prostředí vlnou podélnou či příčnou? Zdůvodněte. (1b.)

? Elektromagnetická vlna v izotropním prostředí je příčná vlna. Zdůvodnění:

• Vektory elektrické intenzity $\vec{E}$ a magnetické indukce $\vec{B}$ jsou kolmé ke směru šíření vlny $\vec{k}$
• Kmitání pole probíhá kolmo ke směru šíření, tedy příčné vlny

36. Napište vztah pro Poyntingův vektor. (1b.)

? $\vec{S}(\vec{r},t)=\vec{E}(\vec{r},t)\times \vec{H}(\vec{r},t)$ $\vec{S}\dots$ Poyntingův vektor, hustota toku elektromagnetické energie $[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}]$ $\vec{E}\dots$ vektor elektrické intenzity $[\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}]$ $\vec{H}\dots$ vektor magnetické intenzity $[\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}]$

37. Napište vztah pro Brewsterův úhel. (1b.)

? $\tan {\alpha }_B=\frac{n_2}{n_1}$ Značky:

• ${\alpha }_B\dots$ Brewsterův úhel (úhel dopadu)
• $n_1\dots$ index lomu prostředí ze kterého vlnění dopadá
• $n_2\dots$ Index lomu prostředí, na které vlnění dopadá

Dopadá-li přirozené světlo na rozhraní dielektrik pod Brewsterovým úhlem, je odražené světlo lineárně polarizované (kmitá kolmo k rovině dopadu).

38. Napište vztah pro mezní úhel. (1b.)

? $\sin {\alpha }_m=\frac{n_2}{n_1}$ Značky:

• ${\alpha }_m\dots$ Mezní úhel dopadu (při kterém je úhel lomu $90^{\circ }$)
• $n_1\dots$ Index lomu prostředí, ze kterého paprsek dopadá (hustší)
• $n_2\dots$ Index lomu prostředí, do kterého by se paprsek lámal (řidší)

Pro úhly dopadu větší než ${\alpha }_m$ dochází k úplnému (totálnímu) odrazu, paprsek se do druhého prostředí neláme.

39. Napište vztah pro optickou dráhu. (1b.)

? $l=n\cdot s$ Značky:

• $l\dots$ Optická dráha
• $n\dots$ Index lomu prostředí, ve kterém se světlo šíří.
• $s\dots$ Geometrická dráha (skutečná vzdálenost uražená v daném prostředí)

Optická dráha odpovídá vzdálenosti, kterou by světlo urazilo ve vakuu za stejný čas, jako urazí vzdálenost $s$ v prostředí s indexem lomu $n$. Fázový posun vlny závisí právě na optické dráze.

40. Napište zákon odrazu spolu s vysvětlujícím obrázkem. (1b.)

? Úhel dopadu je roven úhlu odrazu ${\alpha }_i={\alpha }_r$ ${\alpha }_i\dots$ úhel dopadu ${\alpha }_r\dots$ úhel odrazu

41. Napište zákon lomu (Snellův zákon) spolu s vysvětlujícím obrázkem. (1b.)

? $n_1\sin \alpha =n_2\sin \beta$ $n_1\dots$ index lomu prvního prostředí $n_2\dots$ index lomu druhého prostředí $\alpha \dots$ úhel dopadu $\beta \dots$ úhel lomu

42. Napište vztah pro vektor magnetické indukce rovinné elektromagnetické vlny šířící se v obecném směru. (1b.)

? $\vec{B}=\frac{1}{\omega }(\vec{k}\times \vec{E})$ Značky:

• $\vec{k}\dots$ vlnový vektor (směr šíření vlny).
• $\omega \dots$ kruhový kmitočet.
• $B\dots$ vektor magnetické indukce
• $E\dots$ vektor elektrické intenzity

43. Napište podmínku konstruktivní interference dvou monochromatických světelných paprsků. (1b.)

? $I>I_1+I_2$ Značky:

• $I\dots$ výsledná intenzita
• $I_1,I_2\dots$ Intenzity jednotlivých paprsků

44. Napište podmínku destruktivní interference dvou monochromatických světelných paprsků. (1b.)

? $I<I_1+I_2$ Značky:

• $I\dots$ výsledná intenzita
• $I_1,I_2\dots$ Intenzity jednotlivých paprsků

45. Napište znění Fermatova principu. (1b.)

? Světlo se šíří podél takových paprsků, že dráhu mezi dvěma body urazí za nejkratší čas.

46. Napište vztah pro index lomu, znáte-li rychlost šíření světla v daném prostředí. (1b.)

? $n=\frac{c}{v}$ Značky:

• $n\dots$ absolutní index lomu daného prostředí
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu
• $v\dots$ fázová rychlost šíření světla v daném prostředí

47. Napište vztah pro rychlost šíření rovinné elektromagnetické vlny v dielektriku s permitivitou $\epsilon$ a permeabilitou $\mu$. (1b.)

? $v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$ Značky: $v\dots$ Fázová rychlost elektromagnetické vlny v daném prostředí $\epsilon \dots$ Permitivita prostředí ($\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0$) $\mu \dots$ Permeabilita prostředí ($\mu ={\mu }_r{\mu }_0$)

48. Napište definiční vztah pro emisivitu tělesa. (1b.)

? Emisivita: $\epsilon =\frac{M^e}{M^{e0}}$

• Pro absolutně černá tělesa: $M^{e0}=\sigma T^4$
• Pro reálná tělesa: $M^e=\epsilon \sigma T^4$ Značky: $\sigma \dots$ Stefan–Boltzmannova konstanta $T\dots$ termodynamická teplota $[\text{K}]$ $M^{e0}\dots$ intenzita vyzařování černého tělesa $M^e\dots$ intenzita vyzařování reálného tělesa $\epsilon \dots$ emisivita reálného tělesa ($0\le \epsilon \le 1$) ${\dot{Q}}_e\dots$ Tepelný tok (výkon) sáláním $A\dots$ plocha povrvhu $T_s\dots$ Termodynamická teplota povrchu tělesa $T_o\dots$ Termodynamická teplota okolí

49. Jak nazýváme stejné částice, jejichž soubor má symetrickou vlnovou funkci? (1b.)

? Bosony

Mají celočíselný spin ($s=0,1,2,\dots$). Příklady: fotony, fonony

50. Jak nazýváme stejné částice, jejichž soubor má antisymetrickou vlnovou funkci? (1b.)

? Fermiony

Mají poločíselný spin ($s=1/2,3/2,\dots$). Platí pro ně Pauliho vylučovací princip. Příklady: elektrony, protony, neutrony

51. Napište znění Pauliho vylučovacího principu. (1b.)

? V soustavě stejných fermionů se nemohou nacházet dva fermiony ve stejném stavu (nemohou mít všechna kvantová čísla stejná).

Tento princip platí pouze pro fermiony (částice s poločíselným spinem a antisymetrickou vlnovou funkcí), nikoliv pro bosony.

52. Napište vztah pro hybnost fotonu. (1b.)

? $p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu }{c}=\frac{\hslash \omega }{c}=\hslash k=\frac{h}{\lambda }$

• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $E\dots$ energie fotonu
• $p\dots$ hybnost fotonu
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\omega =2\pi \nu \dots$
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\lambda \dots$ vlnová délka
• $k=\frac{2\pi }{\lambda }\dots$ vlnové číslo/vektor
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu

53. Napište vztah pro energii fotonu. (1b.)

? $E=h\nu =\hslash \omega$

• $E\dots$ energie fotonu
• $h\dots$ Planckova konstanta
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $\omega =2\pi \nu \dots$

54. Uveďte základní 4 interakce, ze kterých se sestává vesmír. (1b.)

?

• Silná jaderná interakce:
  • Funkce: Drží pohromadě kvarky v hadronech (protony, neutrony) a následně drží pohromadě atomové jádro (zbytková silná interakce).
  • Dosah: Velmi krátký ($10^{-15}$ m).
  • Zprostředkující částice: Gluony.
• Elektromagnetická interakce:
  • Funkce: Působí mezi elektricky nabitými částicemi (odpovědná za strukturu atomového obalu, chemické vazby).
  • Dosah: Nekonečný.
  • Zprostředkující částice: Fotony ($\gamma$).
• Slabá jaderná interakce:
  • Funkce: Způsobuje přeměny částic (např. radioaktivní rozpad $\beta$). Působí na leptony i kvarky.
  • Dosah: Extrémně krátký ($10^{-18}$ m).
  • Zprostředkující částice: Bosony $W^{+}$, $W^{-}$ a $Z^0$.
• Gravitační interakce:
  • Funkce: Působí mezi všemi částicemi s hmotností (energií). V mikrosvětě je zanedbatelná, dominuje v makrosvětě.
  • Dosah: Nekonečný.
  • Zprostředkující částice: Graviton (hypotetická částice, dosud neobjevena).

Termodynamika

55. Napište Fourierův zákon v jednorozměrném tvaru. (2b.)

? $q=-\lambda \frac{dT}{dx}$ Značky:

• $\lambda \dots$ Součinitel tepelné vodivosti
• $\frac{dT}{dx}\dots$ Teplotní gradient
• $q\dots$ hustota tepelného toku
• $T\dots$ teplota
• $x\dots$ souřadnice šíření tepla

56. Napište stavovou rovnici ideálního plynu. (2b.)

? $PV=nRT$ Značky:

• $P\dots$ tlak
• $V\dots$ objem
• $n\dots$ látkové množství
• $R\dots$ plynová konstanta
• $T\dots$ teplota

57. Napište van der Waalsovu stavovou rovnici. (2b.)

? $\left(P+\frac{a}{V_m^2}\right)(V_m-b)=RT$ $\left(P+n^2\frac{a}{V^2}\right)(V-nb)=nRT$ Značky:

• $P\dots$ tlak
• $V\dots$ objem
• $V_m\dots$ molární objem ($V_m=V/n$)
• $n\dots$ látkové množství
• $R\dots$ plynová konstanta
• $T\dots$ teplota
• $a\dots$ konstanta - kohezní tlak
• $b\dots$ konstanta - vlastní objem

58. Napište kalorimetrickou (směšovací) rovnici. (2b.)

? $Q_{odevzdan\acute{e}}+Q_{p\check{r}ijat\acute{e}}=0$ Pro $Q=mc\Delta T$: $m_1{c}_1(T-T_1)+m_2{c}_2(T-T_2)=0$ Výsledek: $c_1{m}_1(T_1-T)=c_2{m}_2(T-T_2)$ Značky:

• $T_1,T_2\dots$ počáteční teploty těles
• $T\dots$ konečná rovnovážná teplota směsi
• $Q_{odevzdan\acute{e}},Q_{p\check{r}ijat\acute{e}}\dots$ záporné, kladné teplo
• $c_1,c_2\dots$ měrné tepelné kapacity
• $m_1,m_2\dots$ hmotnosti těles

59. Napište První zákon termodynamiky v diferenciálním tvaru. (2b.)

? $\delta Q=dU+\delta W$

• $\delta Q\dots$ teplo dodané do soustavy (J)
• $dU\dots$ změna vnitřní energie soustavy (J)
• $\delta W\dots$ práce vykonaná soustavou na okolí (J)

60. Napište diferenciální tvar 1. TD zákona pro ideální plyny konající objemovou práci. (2b.)

? $\delta Q=C_{V}dT+PdV$ Značky:

• $\delta Q\dots$ Elementární teplo dodané soustavě
• $C_V\dots$ Tepelná kapacita při konstantním objemu
• $P\dots$ tlak
• $dV\dots$ změna objemu Ovození:

Obecný 1. TD zákon: $\delta Q=dU+\delta W$ Pro objemovou práci platí: $\delta W=PdV$ Pro ideální plyn je vnitřní energie funkcí pouze teploty, platí Mayerův vztah: $dU=C_{V}dT$

61. Napište Thomsonovu (Kelvinovu) formulaci Druhého zákona termodynamiky. (2b.)

?

„Je nemožné cyklickým dějem odnímat jednomu tělesu teplo a to bezezbytku měnit v kladnou práci.“

62. Napište vztah pro účinnost obecného tepelného motoru spolu s vysvětlujícím obrázkem. (2b.)

? $\eta =\frac{W}{Q_1}=\frac{|Q_1|-|Q_2|}{|Q_1|}=1-\frac{|Q_2|}{|Q_1|}<1$

• $W\dots$ práce vykonaná strojem během cyklu
• $Q_1\dots$ teplo přijaté od vysokoteplotního zdroje (ohřívače)
• $Q_2\dots$ teplo odevzdané do nízkoteplotního prostředí (chladiče)

63. Nakreslete p-V diagram pro ideální Carnotův cyklus a popište jednotlivé děje, ze kterých se sestává. (2b.)

?

Děje:

• Izotermická expanze - $T=konst.$ $(P_1,V_1,T_1)\to (P_2,V_2,T_1)$
• Adiabatická expanze - $Q=konst.$ $(P_2,V_2,T_1)\to (P_3,V_3,T_2)$
• Izotermická komprese - $T=konst.$ $(P_3,V_3,T_2)\to (P_4,V_4,T_2)$
• Adiabatická komprese - $Q=konst.$ $(P_4,V_4,T_2)\to (P_1,V_1,T_1)$

64. Napište znění první a druhé Carnotovy věty. (2b.)

?

1. Tepelná účinnost všech vratných tepelných motorů je stejná, pracují-li mezi lázněmi o stejných teplotách.
2. Účinnost ideálního (vratného) tepelného stroje je vždy vyšší než účinnost nevratných tepelných strojů, pracují-li mezi lázněmi o stejných teplotách.

65. Napište rovnici vyjadřující sloučení 1. a 2. TD zákona do jednoho vztahu pro ideální plyn konající objemovou práci. (2b.)

? $TdS=dU+PdV=C_{V}dT+\frac{nRT}{V}dV$ Značky:

• $T\dots$ termodynamická teplota
• $dS\dots$ změna entropie
• $dU\dots$ změna vnitřní energie
• $P\dots$ tlak
• $dV\dots$ změna objemu
• $C_V\dots$ tepelná kapacita při konstantním objemu

66. Napište Clausiovu-Clapeyronovu rovnici. (2b.)

? $\frac{dP}{dT}=\frac{L}{T(V_2-V_1)}$

• $\frac{dP}{dT}\dots$ směrnice křivky fázové rovnováhy v PPP-TTT diagramu
• $L\dots$ skupenské (latentní) teplo při přechodu mezi fázemi
• $T\dots$ absolutní teplota při fázovém přechodu
• $V_2,V_1\dots$ objem (plyn, kapalina)

67. Nakreslete fázový p-T diagram pro pro jednosložkovou soustavu. Popište jednotlivé části diagramu spolu s významnými body. (2b.)

?

68. Napište vztah vyjadřující pomocí termodynamické teploty střední kinetickou energii molekul ideálního plynu. (2b.)

? $⟨E_k⟩=\frac{3}{2}{k}_{B}T$ Značky:

• $⟨E_k⟩\dots$ střední kinetická energie jedné molekuly $\left(\text{nebo}⟨\frac{1}{2}m{v}^2⟩\right)$
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota

69. Napište vztah vyjadřující Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí ideálního plynu. (2b.)

? $\rho (v)=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{v}^{2}exp\left(-\frac{m}{2k_{B}T}{v}^2\right)$, ${\int }_{-\infty }^{\infty }\rho (v)dv={\int }_0^{\infty }\rho (v)dv=1$

• $v\dots$ velikost rychlosti molekuly
• $m\dots$ hmotnost jedné molekuly
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ absolutní teplota plynu

70. Napište vztah pro Boltzmannovo rozdělení energií. (2b.)

? $p_i=\frac{1}{Z}{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ $Z={\sum }_{i=1}^N{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$

• $p_i\dots$ pravděpodobnost obsazení $i$-tého stavu částice
• $E_i\dots$ energie $i$-tého stavu
• $k_B\dots$ pravděpodobnost obsazení iii-tého stavu
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $Z\dots$ partiční suma

Teorie vln

71. Napište vlnovou rovnici pro tenkou strunu spolu se vztahem pro rychlost šíření vlny na této struně. Napište o jaký druh vlnění se jedná. (2b.)

? ${\nabla }^{2}u(x,t)=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}$ $\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}$ $c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$ Značky:

• ${\nabla }^2\dots$ Laplaceův operátor (součet druhých parciálních derivací podle prostorových souřadnic)
• $u(x,t)\dots$ vlnová veličina (např. deformace, tlak, elektromagnetické pole)
• $c\dots$ rychlost šíření vlny v daném prostředí
• $T\dots$ velikost napětí ve struně (síla napínající strunu)
• $\mu \dots$ lineární hustota struny (hmotnost na jednotku délky, $\mu =\text{konst.}$)

Výchylka struny $u(x,t)$ probíhá ve směru kolmém na směr šíření vlny (osa $x$).

72. Napište obecné d’Alembertovo řešení jednorozměrné vlnové rovnice a ukažte, že je skutečně jejím řešením. (2b.)

? $u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$

• $f(x-ct)\dots$ postupuje $+x$
• $g(x+ct)\dots$ postupuje $-x$
• $f,g\dots$ dvakrát diferencovatelné Důkaz: dosadím u do vlnové rovnice a derivuji obě strany

73. Napište vlnovou rovnici pro rovinné vlny a její řešení pro případ, že se jedná o harmonickou vlnu šířící se ve směru daném vlnovým vektorem k. (2b.)

? Ve 3D: ${\nabla }^{2}u(\vec{r},t)=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u(\vec{r},t)}{\partial t^2}$ Řešení:

• Komplexní: $\hat{u}(\vec{r},t)=\hat{A}{e}^{j(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)}$
• Reálné: $u(\vec{r},t)=A\cos (\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t+\delta )$ Značky:
• $u(\vec{r},t)\dots$ okamžitá výchylka vlny v místě $\vec{r}$ a čase $t$
• $\hat{A}\dots$ komplexní amplituda
• $A\dots$ reálná amplituda
• $\vec{k}\dots$ vlnový vektor
• $\vec{r}\dots$ polohový vektor
• $\omega \dots$ kruhová frekvence
• $t\dots$ čas
• $c\dots$ rychlost šíření vlny
• $\delta \dots$ počáteční fáze
• $j\dots$ imaginární jednotka

74. Napište vlnovou rovnici pro kulové vlny a její obecné d’Alembertovo řešení. (2b.)

? $\frac{{\partial }^{2}u(r,t)}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u(r,t)}{\partial t^2}$ Řešení: $u(r,t)=\frac{f(r-ct)}{r}+\frac{g(r+ct)}{r}$ Značky:

• $u(r,t)\dots$ vlnová veličina (např. deformace, tlak, elektromagnetické pole)
• $c\dots$ rychlost šíření vlny
• $f(r-ct)/r\dots$ divergentní (rozbíhavou) kulovou vlnu, postupují od středu
• $g(r+ct)/r\dots$ konvergentní (sbíhavou) kulovou vlnu, postupují do středu
• $f,g\dots$ dvakrát diferencovatelné

75. Jak je definováno vlnové číslo pomocí kruhového kmitočtu? Jak je definované vlnové číslo pomocí vlnové délky? Co nám udává směr vlnového vektoru? (2b.)

? Směr vlnového vektoru $\vec{k}$ je kolmý k vlnoploše. U rovinné vlny udává směr šíření vlny $k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{c}$ Značky:

• $\omega =\frac{2\pi }{T}=kc\dots$ kruhový kmitočet
• $c\dots$ rychlost šíření
• $\lambda \dots$ vlnová délka

76. Napište vztah pro kmitočet, který zaznamená pozorovatel, který se pohybuje rychlostí $v_P$ vůči zdroji, který se vzhledem k prostředí, jímž se vlna šíří, nepohybuje. (2b.)

? ${\omega }_p={\omega }_Z\left(1-\frac{k_0\cdot v_P}{c}\right)$ Značky:

• ${\omega }_Z\dots$ kruhový kmitočet (frekvence) vysílaný zdrojem
• $v_P\dots$ vektor rychlosti pozorovatele
• $c\dots$ rychlost šíření vlnění v daném prostředí
• $k_0\dots$ jednotkový vlnový vektor určující směr šíření vlny (směřuje od zdroje k pozorovateli)

77. Napište vztah pro kmitočet, který zaznamená pozorovatel, jenž se vzhledem k prostředí, jímž se vlna šíří, nepohybuje a pohybuje se vůči pozorovateli jen zdroj rovinných vln rychlostí $v_Z$. (2b.)

? ${\omega }_P=\frac{{\omega }_Z}{1-\frac{k_0\cdot v_Z}{c}}$ Značky:

• ${\omega }_P\dots$ kruhový kmitočet detekovaný pozorovatelem
• ${\omega }_Z\dots$ kruhový kmitočet vysílaný zdrojem
• $c\dots$ rychlost šíření vlnění v daném prostředí
• $v_Z\dots$ vektor rychlosti zdroje
• $k_0\dots$ jednotkový vlnový vektor ve směru šíření vlny (směřuje od zdroje k pozorovateli)

78. Napište vztah pro výpočet grupové rychlosti a fázové rychlosti. Jak je definována normální a anomální disperze. (2b.)

? Fázová rychlost: $v_f=\frac{\omega }{k}$ Grupová rychlost: $v_g=\frac{d\omega }{dk}$

• Normální disperze: Grupová rychlost je menší než fázová rychlost ($v_g<v_f$).
• Anomální disperze: Grupová rychlost je větší než fázová rychlost ($v_g>v_f$). Značky:
• $v_f\dots$ fázová rychlost
• $v_g\dots$ grupová rychlost
• $\omega \dots$ kruhový kmitočet
• $k\dots$ vlnové číslo

79. Odvoďte obecný vztah mezi grupovou a fázovou rychlostí. (2b.)

? Fázová rychlost: $v_f=\frac{\omega }{k}\Rightarrow \omega =v_{f}k$ Grupová rychlost: $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ Dosazení: $v_g=\frac{d(v_{f}k)}{dk}=v_f+k\frac{d{v}_f}{dk}$

80. Napište soustavu linearizovaných rovnici popisující akustické vlny v ideální tekutině. (2b.)

?

• Zlinearizovaná Eulerova pohybová rovnice pro ideální plyny:
  • ${\rho }_0\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\nabla p$
• Zlinearizovaná rovnice kontinuity:
  • $\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\rho }_0\nabla \cdot \vec{v}=0$
• Zlinearizovaná stavová rovnice pro ideální plyny:
  • $p=c_0^2\rho$
• $\rho \dots$ akustická hustota
• ${\rho }_0\dots$ klidová hustota
• $p\dots$ akustický tlak
• $\vec{v}\dots$ akustická rychlost

81. Napište Poyntingovu bilanční rovnici v diferenciálním tvaru. (2b.)

? $j\cdot E=-\frac{\partial w}{\partial t}-\nabla \cdot S$ Značky:

• $\frac{\partial w}{\partial t}\dots$ časová změna objemové hustoty energie elektromagnetického pole
• $\nabla \cdot S\dots$ divergence Poyntingova vektoru
• $j\cdot E\dots$ objemová hustota výkonu elektrických sil (Jouleovo teplo, ztráty)

82. Napište vztah pro obecnou eliptickou polarizaci. (2b.)

? ${\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)}^2+{\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)}^2-2\frac{E_x{E}_y}{E_{0x}{E}_{0y}}\cos \Delta ={\sin }^2\Delta$ Značky:

• $E_x,E_y\dots$ okamžité výchylky elektrického pole
• $E_{0x},E_{0y}\dots$ amplitudy složek
• $\Delta \dots$ fázový posun

83. Napište podmínku lineární polarizace rovinné elektromagnetické vlny. (2b.)

? $E_y=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}(-1{)}^m{E}_x$ kde $\Delta =m\pi$, $|m|=0,1,2,\dots$ Značky:

• $E_x,E_y\dots$ okamžité výchylky elektrického pole
• $E_{0x},E_{0y}\dots$ amplitudy složek
• $m\dots$ násobek fázového posunu

84. Napište podmínku kruhové polarizace rovinné elektromagnetické vlny. (2b.)

? $E_x^2+E_y^2=E_0^2$ kde $\Delta =(2m+1)\frac{\pi }{2}$, $|m|=0,1,2,\dots$ Značky:

• $E_x,E_y\dots$ okamžité výchylky elektrického pole
• $E_{0x},E_{0y}\dots$ amplitudy složek
• $m\dots$ násobek fázového posunu

85. Definujte TE a TM polarizaci rovinných elektromagnetických vln spolu s vysvětlujícím obrázkem (2b.)

?

TE

• označuje se jako s-polarizace
• $E$ kmitá kolmo k rovině dopadu

TM

• označuje se jako p-polarizace
• $E$ kmitá rovnoběžně s rovinnou dopadu

86. Napište vztah pro intenzitu světla rovinné elektromagnetické vlny ve vakuu, znáte-li vektor elektrické intenzity E. (2b.)

? $I=\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_0^2=\frac{E_0^2}{2Z_0}=\frac{E\cdot E}{2Z}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c(E\cdot E)$ Značky:

• $E_0\dots$ amplituda intenzity elektrického pole
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu
• ${\epsilon }_0\dots$ permitivita vakua
• $Z_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}\dots$ charakteristická impedance vakua

87. Napište interferenční rovnici dvou monochromatických elektromagnetických rovinných vln (obecně nekoherentních). (2b.)

? Koherentní: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \alpha \cos [k(s_2-s_1)]$ Nekoherentní: $I=I_1+I_2$ Značky: $I_1,I_2\dots$ intenzity jednotlivých vln $\alpha \dots$ úhel mezi vektory intenzity $s_1,s_2\dots$ dráhy od zdrojů k bodu interference

88. Napište Helmholtzovu rovnici pro vektor elektrické intenzity E. (2b.)

? ${\nabla }^2\hat{\vec{\epsilon }}(\vec{r})+k^2\hat{\vec{\epsilon }}(\vec{r})=0$ Značky:

• ${\nabla }^2\dots$ Laplaceův operátor
• $\hat{\vec{\epsilon }}\dots$ komplexní amplituda elektrické intenzity
• $k\dots$ vlnové číslo

89. Napište, za jakých podmínek je možné použít paprskovou (geometrickou) optiku. (2b.)

?

• Optickou (paprskovou) optiku lze použít, pokud rozměry překážek a optických členů jsou výrazně větší než vlnová délka světla, tedy: $d\gg \lambda$
• Rozměry těles se kterými světlo reaguje musí být daleko větší než vlnová délka světla

90. Napište zobrazovací rovnici pro tenkou čočku spolu s vysvětlujícím obrázkem. (2b.)

? $\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}$ Značky:

• $f\dots$ ohnisková vzdálenost čočky
• $s_o\dots$ vzdálenost předmětu od čočky
• $s_i\dots$ vzdálenost obrazu od čočky

91. Napište zobrazovací rovnici pro lom na kulové ploše spolu s vysvětlujícím obrázkem. (2b.)

? $\frac{n_1}{s_o}+\frac{n_2}{s_i}=\frac{n_2-n_1}{R}$ Značky:

• $n_1\dots$ index lomu prostředí, ze kterého paprsek přichází (předmětový prostor).
• $n_2\dots$ index lomu prostředí, do kterého paprsek vstupuje (obrazový prostor).
• $s_o\dots$ předmětová vzdálenost (vzdálenost předmětu od vrcholu plochy).
• $s_i\dots$ obrazová vzdálenost (vzdálenost obrazu od vrcholu plochy).
• $R\dots$ poloměr křivosti kulové plochy.
• $\Phi =\frac{n_2-n_1}{R}\dots$ optická mohutnost lomivé plochy

Kvantová fyzika

92. Napište Planckův vyzařovací zákon v závislosti na vlnové délce spolu s obrázkem zachycujícím příslušné průběhy pro teploty $T_1<T_2<T_3$. (2b.)

? ${\omega }_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{8\pi h{c}_0}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{h{c}_0}{k_{B}T\lambda }}-1}$ Značky:

• $h\dots$ Planckova konstanta
• $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $\lambda \dots$ vlnová délka

93. Napište Planckův vyzařovací zákon v závislosti na kmitočtu spolu s obrázkem zachycujícím příslušné průběhy pro teploty $T_1<T_2<T_3$. (2b.)

? ${\omega }_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi {\nu }^2}{c_0^3}\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}$ Značky:

• $h\dots$ Planckova konstanta ($h\approx 6,626\cdot 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$) 2
• $c_0\dots$ rychlost světla ve vakuu
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $T\dots$ termodynamická teplota
• $\lambda \dots$ vlnová délka

94. Napište Wienův posunovací zákon. (2b.)

? ${\nu }_{max}=C_{\nu }T$ Pro vlnové délky: ${\lambda }_{max}=\frac{C_{\lambda }}{T}$ Značky:

• ${\lambda }_{max}\dots$ maximum spektrální hustoty vyzařování
• $T\dots$ termodynamická teplota
• ${\nu }_{max}\dots$ maximum spektrální hustoty energie
• $C_{\nu }=\frac{k_B{x}_{max}}{h}\dots$ konstanta úměrnosti
• $x_{max}=2,82144$
• $k_B\dots$ Boltzmannova konstanta
• $h\dots$ Planckova konstanta ($h\approx 6,626\cdot 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$)

95. Napište Stefanův-Boltzmannův zákon. (2b.)

? Pro absolutně černá tělesa: $M^{e0}=\sigma T^4$ Obecně: $M^e=\epsilon \sigma T^4$ $\sigma \dots$ Stefan–Boltzmannova konstanta $T\dots$ termodynamická teplota $[\text{K}]$ $M^{e0}\dots$ intenzita vyzařování černého tělesa $M^e\dots$ intenzita vyzařování reálného tělesa $\epsilon \dots$ emisivita reálného tělesa ($0\le \epsilon \le 1$)

96. Napište stacionární tvar Schrödingerovy rovnice. (2b.)

? Trojrozměrný tvar: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\varphi (\vec{r})+U(\vec{r})\varphi (\vec{r})=E\varphi (\vec{r})$ Jednorozměrný tvar: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\varphi (x)}{\partial x^2}+U(x)\varphi (x)=E\varphi (x)$

• $\psi \dots$ vlnová funkce částice
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$​ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ hmotnost částice
• $U\dots$ potenciální energie
• $E\dots$ vlastní hodnota energie stavu

97. Napište nestacionární tvar Schrödingerovy rovnice. (2b.)

? Trojrozměrný tvar: $j\hslash \frac{\partial \psi (\vec{r},t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi (\vec{r},t)+U(\vec{r},t)\psi (\vec{r},t)$ Jednorozměrný tvar: $j\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}+U(x,t)\psi (x,t)$

• $\psi \dots$ vlnová funkce částice
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }\dots$​ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ – hmotnost částice
• $U\dots$ – potenciální energie

98. Napište Bornovu interpretaci vlnové funkce a příslušnou normovací podmínku. (2b.)

? Bornova intepretace: $|\psi (x,t){|}^2=\psi (x,t){\psi }^{\ast }(x,t)$ Normovací podmínka: ${\int }_{-\infty }^{\infty }|\psi (x,t){|}^{2}dx=1$ Značky:

• $\psi \dots$ vlnová funkce
• ${\psi }^{\ast }\dots$ komplexně sdružená $\psi$
• $|\psi {|}^2\dots$ hustota pravděpodobnosti

99. Napište vztah pro relativistickou energii volné částice o hybnosti $p$ a klidové hmotnosti $m_0$. (2b.)

? $E^2=(m_0{c}^2{)}^2+p^2{c}^2$ Značky:

• $E\dots$ celková relativistická energie částice
• $m_0\dots$ klidová hmotnost částice
• $p\dots$ velikost hybnosti částice
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu

100. Napište vztah pro maximální kinetickou energii emitovaných elektronů z kovu o výstupní práci $\Phi$ ozařovaném monochromatickou elektromagnetickou vlnou o frekvenci $\nu$. (2b.)

? $E_{k,max}=h\nu -\Phi$ Značky:

• $h\nu \dots$ energie dopadajícího fotonu ($h$ je Planckova konstanta).
• $\Phi \dots$ výstupní práce (minimální energie potřebná k uvolnění elektronu z povrchu kovu).
• $\nu \dots$ frekvence dopadajícího záření.

101. Na světlocitlivou součástku o mezní vlnové délce ${\lambda }_0$ dopadá monochromatická elektromagnetická vlna o vlnové délce $\lambda >{\lambda }_0$. Dojde v tomto případě k emisi elektronů a proč? (2b.)

? Ne, k emisi elektronů nedojde. Proč:

• Pro vyvolání fotoelektrického jevu musí mít dopadající foton energii $E_f$ alespoň rovnou výstupní práci $\Phi$ daného materiálu ($E_f\ge \Phi$).
• Energie fotonu je nepřímo úměrná vlnové délce: $E_f=\frac{hc}{\lambda }$. Mezní vlnová délka ${\lambda }_0$ odpovídá právě minimální energii nutné k emisi: $\Phi =\frac{hc}{{\lambda }_0}$.

102. Napište Heisenbergovy relace neurčitosti. (2b.)

?

• Poloha a hybnost:
  • Nelze současně přesně určit polohu a hybnost částice. \begin{align*}\Delta x\Delta p_x &\ge \frac{\hslash}{2},& \Delta y\Delta p_y &\ge \frac{\hslash}{2},& \Delta z\Delta p_z &\ge \frac{\hslash}{2}\end{align*}
• Energie a čas:
  • Nelze současně přesně určit energii a čas jevu. $\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$ Značky:
• $\Delta x\dots$ neurčitost polohy
• $\Delta p_x\dots$ neurčitost hybnosti ve směru $x$
• $\Delta E\dots$ neurčitost energie
• $\Delta t\dots$ časový interval
• $\hslash \dots$ redukovaná Planckova konstanta

103. Jak je definováno absolutně černé těleso a jakým způsobem ho realizujeme? Nakreslete vysvětlující obrázek. (2b.)

? Definice:

• Absolutně černé těleso je takové těleso které pohltí veškeré záření které na něj dopadá a má tedy pohltivost $\alpha =1$
• Absolutně černé těleso je ideální těleso, které pohlcuje veškeré dopadající záření bez odrazu a propustnosti a vyzařuje záření s maximální možnou intenzitou při dané teplotě.
• Absolutně černé těleso je těleso, které pohltí nezávisle na vlnové délce veškeré dopadající záření na jeho povrch ⇒ pro absolutně černé těleso musí platit, že $\alpha ={\alpha }_{\nu }={\alpha }_{\lambda }=1$ ($R=0$) Realizace:
• V experimentech realizujeme např. nádobou s dírou kde vnitřek dané nádoby je pokrytý pohlcujícím materiálem. Samotný vstup této nádoby je v experimentech považován za absolutně černé těleso.
• Absolutně černé těleso lze aproximovat malým otvorem do dutiny se začerněnými vnitřními stěnami. Díky skutečnosti, že otvor do dutiny je malý a stěny dutiny jsou navrženy tak, aby maximalizovaly počet odrazů dopadajícího záření, pak dopadající záření, které pronikne otvorem do dutiny, se po několika odrazech pohltivostí stěn natolik zeslabí, že se z dutiny téměř žádné nedostane ven, a tedy otvor s dutinou bude představovat téměř absolutně černé těleso (přesněji otvor dutiny).

104. Vysvětlete Comptonův jev spolu s vysvětlujícím obrázkem. (2b.)

? Comptonův jev je jev, při kterém dochází k rozptylu fotonu na (téměř) volném elektronu, přičemž se zvětší vlnová délka rozptýleného záření. Tento jev je důsledkem částicové povahy světla a zákona zachování energie a hybnosti.

105. Napište vztah pro operátor hybnosti. (2b.)

? V 3D: $\hat{\vec{p}}=-j\hslash \vec{\nabla }$ V 1D: ${\hat{\vec{p}}}_x=-j\hslash \frac{\partial }{\partial x}$

• $\hat{\vec{p}}\dots$ operátor hybnosti
• $\hslash \dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $\vec{\nabla }\dots$ Hamiltonův operátor
• $j\dots$ imaginární jednotka

106. Napište vztah pro operátor kinetické energie. (2b.)

? Operátor energie: $\hat{T}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2$

• $\hat{T}\dots$ Operátor kinetické energie
• $\hslash \dots$ redukovaná Planckova konstanta
• $m\dots$ hmotnost částice
• $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\dots$ Operátor kinetické energie

107. Napište definiční vztah pro komutátor dvou operátorů. (2b.)

? $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ Značky:

• $[\hat{A},\hat{B}]=0\dots$ říkáme, že operátory komutují (nezáleží na pořadí)
• $[\hat{A},\hat{B}]\ne 0\dots$ říkáme, že operátory nekomutují (záleží na pořadí aplikace)

108. Vysvětlete tunelový jev, doplňte o vysvětlující obrázek. (2b.)

?

• Tunelovým jevem rozumíme průchod částice potenciálovým valem, kdy $E<U_0$. Uvažujme pravoúhlý potenciálový val šířky a a výšky $U_0>0$.
• Jde o průchod částice potenciálovou barierou, která je vyšší než energie částice.
• Tunelový jev je kvantově mechanický jev, při kterém má částice nenulovou pravděpodobnost projít potenciálovou bariérou, i když její energie je menší než výška bariéry, tedy $E<U_0$ Značky:
• $E\dots$ energie částice
• $U_0\dots$ výška potenciálové bariéry

109. Napište Bohrovy postuláty. (2b.)

?

1. V atomu existují stabilní (stacionární) dráhy, na nichž elektron nevyzařuje elektromagnetickou energii.
2. Atom vyzařuje (nebo absorbuje) energii pouze tehdy, přejde-li elektron z jedné stabilní dráhy na jinou. Frekvence $\nu$ vyzářeného fotonu je dána rozdílem energií těchto hladin: $E_i-E_f=h\nu$
3. Stabilní dráha je taková, pro kterou platí, že moment hybnosti elektronu je celistvým násobkem $\hslash$ (resp. obvod dráhy je celistvým násobkem de Broglieho vlnové délky): $rmv=n\hslash$ kde $n=1,2,\dots$) je kvantové číslo

110. Vysvětlete nestabilitu Rutherfordova (planetárního) modelu atomu. (2b.)

?

• Elektrony obíhající kolem jádra se pohybují s dostředivým zrychlením
• Podle klasické elektrodynamiky musí každá nabitá částice pohybující se se zrychlením emitovat elektromagnetické záření
• Vyzařováním by elektron ztrácel svou energii
• V důsledku ztráty energie by se poloměr dráhy elektronu postupně zmenšoval. Elektron by se pohyboval po spirále, až by nakonec dopadl na jádro. Tento kolaps by nastal ve velmi krátkém čase (řádově $10^{-11}$ s), což je v rozporu s pozorovanou stabilitou atomů4.

111. Napište vztah pro Hamiltonův operátor. (2b.)

? $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta +\hat{U}(r)$ Značky:

• $\hslash$ – redukovaná Planckova konstanta ($\hslash =h/2\pi$)
• $m$ – hmotnost částice
• $\Delta$ (nebo ${\nabla }^2$) – Laplaceův operátor (operátor kinetické energie je $\hat{T}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta$)
• $\hat{U}(\vec{r})$ – operátor potenciální energie (v souřadnicové reprezentaci je to funkce potenciálu $U(\vec{r})$)

112. Napište definiční vztah pro skalární součin v Hilbertově prostoru. (2b.)

? V 1D: $⟨f|g⟩\equiv {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\ast }(x)g(x)dx$ V 3D: $⟨f|g⟩\equiv {\int }_V{f}^{\ast }(x)g(x)dV$ Značky:

• $f^{\ast }(x)\dots$ je komplexně sdružená funkce k funkci $f(x)$
• $f(x),g(x)\dots$ jsou vlnové funkce

113. Napište postulát o vlnové funkci a postulát o operátorech. (2b.)

?

• Postulát o vlnové funkci:

  „Veškeré informace o stavu kvantověmechanickém systému (nejčasteji částici) jsou popsány vlnovou funkcí $\psi (\vec{r},t)$.“

• Postulát o operátorech:

  „Každé fyzikální veličině, kterou můžeme pro danou částici naměřit, je přiřazen operátor, který působí na příslušnou vlnovou funkci.“

114. Napište postulát o kvantování. (2b.)

?

„Jediné hodnoty, které může měřitelná veličina $A$ nabývat při jednotlivých měřeních, jsou vlastní čísla $A_n$ odpovídajícího operátoru $\hat{A}$.“

115. Napište postulát o redukci vlnové funkce. (2b.)

? $\hat{A}\psi (t)\stackrel{\text{meˇrˇenıˊ}}{\to }{A}_n{\psi }_n$

„Měření fyzikální veličiny $A$ s výsledkem měření $A_n$, kde $A_n$ je vlastní číslo odpovídajícího operátoru $\hat{A}$, převádí měřený systém do stavu s vlnovou funkcí ${\psi }_n$, která je vlastní funkcí operátoru $\hat{A}$ s vlastním číslem $A_n$.“

116. Jak je definováno vlastní číslo operátoru? (2b.)

? Vlastní číslo (vlastní hodnota) operátoru $\hat{A}$ je číslo $\lambda$, pro které existuje nenulová funkce $\psi$ (tzv. vlastní funkce), splňující rovnici: $\hat{A}\psi =\lambda \psi$ Značky:

• $\hat{A}$ – operátor fyzikální veličiny
• $\psi$ – vlastní funkce operátoru (musí splňovat standardní podmínky: jednoznačnost, spojitost, ohraničenost)
• $\lambda$ – vlastní číslo (vlastní hodnota), která odpovídá naměřitelné hodnotě dané fyzikální veličiny.

117. Jak je definovaná vlastní funkce operátoru? (2b.)

? Vlastní funkce operátoru $\hat{A}$ je taková funkce $\psi$, která je řešením rovnice: $\hat{A}\psi =\lambda \psi$ kde $\lambda$ je konstanta nazývaná vlastní číslo (nebo vlastní hodnota) operátoru. Aby byla funkce $\psi$ považována za vlastní funkci v kontextu kvantové mechaniky, musí splňovat tzv. standardní podmínky:

1. Musí být jednoznačná.
2. Musí být spojitá (včetně svých prvních derivací).
3. Musí být ohraničená (konečná) v celém rozsahu proměnných (např. musí konvergovat k nule v nekonečnu, aby byla normalizovatelná).

118. Napište definici hermitovského operátoru. (2b.)

? Hermitovský operátor $\hat{A}$ je takový lineární operátor, pro který platí podmínka (v integrujícím tvaru): $\int {\psi }^{\ast }\hat{A}\psi dx=\int \psi (\hat{A}\psi {)}^{\ast }dx$ Definován vztahem: $⟨f|\hat{A}g⟩=⟨\hat{A}f|g⟩$

119. Napište kvantová čísla pro elektron v centrálním silovém poli, vysvětlete jejich význam a uveďte hodnoty, jakých mohou nabývat. (2b.)

? Stav elektronu v atomu je jednoznačně určen čtveřicí kvantových čísel:

1. Hlavní kvantové číslo ($n$):
   • Význam: Určuje celkovou energii elektronu (energetickou hladinu/slupku) a střední vzdálenost elektronu od jádra.
   • Hodnoty: $n=1,2,3,\dots$ (celá kladná čísla).
2. Vedlejší (orbitální) kvantové číslo ($l$):
   • Význam: Určuje velikost orbitálního momentu hybnosti $L$ a prostorový tvar orbitalu (typ podslupky s, p, d, f).
   • Hodnoty: $l=0,1,2,\dots ,n-1$ (celá čísla od 0 do $n-1$).
3. Magnetické kvantové číslo ($m_l$):
   • Význam: Určuje prostorovou orientaci orbitalu vůči vnějšímu magnetickému poli (průmět momentu hybnosti do osy $z$).
   • Hodnoty: $m_l=-l,\dots ,0,\dots ,+l$ (celá čísla v intervalu $⟨-l,l⟩$).
4. Magnetické spinové číslo ($m_s$):
   • Význam: Určuje průmět vlastního momentu hybnosti (spinu) elektronu do osy $z$.
   • Hodnoty: $m_s=+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$.

120. Vysvětlete Pauliho vylučovací princip. (2b.)

?

• Pauliho vylučovací princip říká, že v jednom kvantovém systému nemohou existovat dva fermiony ve stejném kvantovém stavu.
• Konkrétně pro elektrony v atomu:
  • V jednom atomu nemohou existovat dva elektrony, které by měly shodná všechna čtyři kvantová čísla ($n,l,m_l,m_s$). Musí se lišit alespoň v jednom z nich (např. pokud jsou ve stejném orbitalu, musí mít opačný spin).

V soustavách stejných (identických) fermionů nelze při měření nalézt dvě částice, jež mají současně stejný soubor kvantových čísel ($n$, $l$, $m_l$, $m_s$).

121. Vysvětlete pojmy slupka, podslupka a napište spektroskopickou notaci. (2b.)

? Struktura elektronového obalu se dělí hierarchicky podle kvantových čísel:

• Slupka - Všechny stavy se stejným hlavním kvantovým číslem $n$ ($K$, $L$, $M$, $\dots$ značí $n=1,2,3,\dots$)
• Podslupka - Všechny stavy se stejnými hodnotami $n$ a $l$ ($s$, $p$, $d$, $f$, $\dots$ značí $l=0,1,2,\dots$)
• Spektroskopická notace

1. Slupka (vrstva):
   • Je tvořena všemi elektrony, které mají stejné hlavní kvantové číslo $n$.
   • Elektrony v jedné slupce mají přibližně stejnou energii a střední vzdálenost od jádra.
   • Historické značení slupek: $K(n=1),L(n=2),M(n=3),N(n=4),\dots$
2. Podslupka:
   • Je tvořena elektrony v rámci jedné slupky, které mají stejné vedlejší kvantové číslo $l$.
   • Určuje prostorový tvar orbitalu. V jedné podslupce mají všechny orbitaly stejnou energii (pokud není přítomno vnější pole).
3. Spektroskopická notace:
   • Pro označení stavů s určitou hodnotou $l$ se používají malá písmena.
   • Zápis konkrétního orbitalu se provádí kombinací čísla ($n$) a písmene ($l$).

122. Slovně definujte normální Zeemanův jev a napište, kdy k němu dochází. (2b.)

?

• Co to je:
  • Rozštěpení spektrálních čar záření, které vzniká emisí elektronů silným stacionárním magnetickým polem na několik čar podobných vlnových délek.
• Kdy k němu dochází:
  • celkový spin elektronového obalu je roven nule

123. Co musí platit pro vlnovou funkci popisující soubor fermionů a jak z toho plyne Pauliho vylučovací princip? (2b.)

? Musí platit: $\psi (f,g)=-\psi (g,f)$ Z Pauliho vylučovacího principu ($f=g=d$): $\psi (d,d)=-\psi (d,d)\Rightarrow \psi (d,d)=0$ Proto v jednom kvantovém stavu může být pouze jeden fermion

124. Vysvětlete rozdíl mezi spontánní a stimulovanou emisí. (2b.)

? Rozdíl je v příčině přechodu elektronu na nižší hladinu a ve vlastnostech vyzářeného fotonu. 1. Spontánní emise (Samovolná):

• Princip: Excitovaný elektron na vyšší energetické hladině $E_2$ přejde na nižší hladinu $E_1$ samovolně (náhodně v čase), bez vnějšího zásahu.
• Výsledek: Vyzařuje se foton o energii $h\nu =E_2-E_1$.
• Vlastnosti: Foton má náhodný směr, fázi i polarizaci.
• Příklad: Běžné zdroje světla (žárovka, Slunce, LED). 2. Stimulovaná emise (Vynucená):
• Princip: Excitovaný elektron na hladině $E_2$ je zasažen vnějším fotonem, který má přesně energii odpovídající přeskoku ($h\nu =E_2-E_1$). Tento vnější foton “strhne” elektron dolů.
• Výsledek: Vznikají dva fotony (jeden dopadající + jeden nově vyzářený).
• Vlastnosti: Oba fotony jsou identické – mají stejnou frekvenci, stejný směr, stejnou polarizaci a především stejnou fázi (jsou koherentní).
• Příklad: Lasery (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation).

125. Co je to tzv. inverze populace a k čemu ji využíváme? (2b.)

? Inverze populace je stav fyzikálního systému (např. atomů v aktivním prostředí), kdy je počet částic na vyšší energetické hladině ($N_2$) větší než počet částic na nižší hladině ($N_1$). $N_2>N_1$

• Běžný stav (termodynamická rovnováha): Platí Boltzmannovo rozdělení, kdy je většina elektronů v základním stavu ($N_1>N_2$). V takovém prostředí převažuje absorpce (foton je pohlcen a elektron vyskočí nahoru).
• Inverzní stav: Je dosažen dodáním energie zvenčí (tzv. čerpáním). V tomto prostředí převažuje stimulovaná emise (foton strhne elektron dolů a vznikne další foton). Využití: Je to nutná podmínka pro funkci LASERu (a maseru). Pouze při inverzi populace dochází k zesilování světla průchodem látkou (světelná lavina), místo aby bylo světlo pohlcováno.

126. Na základě pásové teorie vysvětlete princip vodiče. (2b.)

? Podle pásové teorie je látka vodičem, pokud elektrony mohou snadno přecházet do vyšších energetických stavů a tím se podílet na vedení proudu. U vodičů nastává jeden ze dvou případů:

1. Překryv pásů: Valenční pás (plný elektronů) a vodivostní pás (prázdný) se překrývají. Neexistuje zde žádný zakázaný pás ($E_g=0$).
2. Neúplně zaplněný pás: Valenční pás není zcela zaplněn elektrony. Důsledek: Elektrony nepotřebují dodání velké energie (jako u polovodičů nebo izolantů) k tomu, aby se staly vodivostními. I nepatrné elektrické pole stačí k tomu, aby se elektrony začaly uspořádaně pohybovat (přešly na blízkou vyšší energetickou hladinu v rámci pásu).

127. Na základě pásové teorie vysvětlete princip izolátoru. (2b.)

? Podle pásové teorie je izolátor charakteristický uspořádáním energetických pásů:

1. Valenční pás: Je při teplotě $0K$ zcela zaplněn elektrony (všechny stavy jsou obsazeny).
2. Vodivostní pás: Je zcela prázdný (nejsou zde žádné elektrony, které by mohly vést proud).
3. Zakázaný pás: Mezi valenčním a vodivostním pásem je široký zakázaný pás (velká energetická mezera $E_g$). Důsledek: Šířka zakázaného pásu je tak velká (obvykle $E_g>3eV$), že energie tepelného pohybu za běžných teplot nestačí k tomu, aby elektrony tento pás překonaly (přeskočily z valenčního do vodivostního pásu). Látka proto neobsahuje volné nosiče náboje a nevede elektrický proud.

128. Na základě pásové teorie vysvětlete princip polovodiče. (2b.)

?

• Polovodič je látka, která má mezi valenčním a vodivostním pásem úzký zakázaný pás Struktura polovodiče je podobná izolantu, ale s jedním zásadním rozdílem – šířkou zakázaného pásu.

1. Struktura pásů (při 0 K):
   • Valenční pás: Je zcela zaplněn.
   • Vodivostní pás: Je zcela prázdný.
   • Zakázaný pás ($E_g$): Je úzký (obvykle $E_g<3\text{ eV}$, např. křemík má cca 1,1 eV).
2. Chování při vyšších teplotách ($T>0\text{ K}$):
   • Díky úzkému zakázanému pásu stačí i běžná tepelná energie (nebo světlo) k tomu, aby některé elektrony přeskočily z valenčního do vodivostního pásu.
   • Vznik vodivosti:
     • Ve vodivostním pásu se objeví volné elektrony.
     • Ve valenčním pásu po nich zbudou prázdná místa – tzv. díry (které se chovají jako kladný náboj).
   • Elektrický proud je pak veden oběma nosiči náboje (elektrony i dírami).

129. Co je to polovodič typu N a jak jej lze vytvořit? (2b.)

? Co to je:

• Polovodič typu N (z anglického Negative) je příměsový polovodič, ve kterém je elektrický proud veden převážně volnými elektrony (tzv. majoritními nosiči náboje). Vytvoření:
• Vytvoří se přidáním malého množství příměsi z V. skupiny periodické tabulky do čistého krystalu polovodiče ze IV. skupiny.
• Vznikne více volných elektronů (lehce vázaných), které zvyšují vodivost

130. Co je to polovodič typu P a jak jej lze vytvořit? (2b.)

?

Co to je:

• Polovodič typu P je příměsový polovodič, ve kterém je elektrický proud veden převážně děrami (tzv. majoritními nosiči náboje), které se chovají jako kladný náboj.

Vytvoření:

• Vytvoří se přidáním malého množství příměsi ze III. skupiny periodické tabulky do čistého krystalu polovodiče ze IV. skupiny.
• Chybí v mřížce elektrony pro plnou vazbu, takže tam jsou díry, které zvyšují vodivost

131. Na jaké dvě skupiny dělíme částice podle toho, jestli podstupují, nebo nepodstupují silnou interakci? (2b.)

?

• Hadrony: Částice, které podstupují silnou interakci
• Leptony: Částice, které nepodstupují silnou interakci

132. Napište vztahy pro hmotnostní úbytek a vazebnou energii jádra atomu. (2b.)

?

• Hmotnostní úbytek: $\Delta m=Z{m}_p+(A-Z)m_n-m_j$
• Vazebná energie: $E_V=\Delta m{c}^2$ Značení:
• $Z\dots$ protonové číslo (počet protonů).
• $m_p\dots$ klidová hmotnost protonu.
• $A\dots$ nukleonové číslo (celkový počet nukleonů).
• $m_n\dots$ klidová hmotnost neutronu.
• $m_j\dots$ klidová hmotnost atomového jádra.
• $c\dots$ rychlost světla ve vakuu.

133. Napište rozpadovou rovnici. (2b.)

? Diferenciální tvar: $\frac{dN}{dt}=-\lambda N(t)$ Integrální tvar: $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ Značky:

• $N(t)\dots$ počet nerozpadlých (mateřských) jader v čase $t$.
• $N_0\dots$ počáteční počet jader v čase $t=0$.
• $\lambda \dots$ rozpadová konstanta (udává pravděpodobnost rozpadu jádra za jednotku času).
• $t\dots$ čas.

134. Napište vztah pro aktivitu radioaktivního rozpadu. V jakých jednotkách ji udáváme? (2b.)

? Aktivita $R$ je definována jako rychlost radioaktivního rozpadu, tedy úbytek počtu jader za jednotku času: $R(t)=-\frac{dN(t)}{dt}=\lambda N(t)$ $R(t)=R_0{e}^{-\lambda t}$ Jednotka: Základní jednotkou aktivity je becquerel (Bq)

• $1Bq\dots$ jeden rozpad za sekundu
• $\lambda \dots$ rozpadová konstanta
• $N(t)\dots$ počet rozpadlých jader v čase
• $R(t)\dots$ rychlost rozpadu
• $R_0\dots$ počáteční rychlost rozpadu

135. Napište vztah pro poločas rozpadu. (2b.)

? $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }\approx \frac{0,693}{\lambda }$ Značky:

• $\lambda \dots$ rozpadová konstanta
• $T_{1/2}\dots$ poločas rozpadu

136. Napište rovnici popisující radioaktivitu $\alpha$. (2b.)

? ${}_Z^A\text{X}{\to }_{Z-2}^{A-4}\text{Y}{+}_2^4\text{He}$ Značky:

• ${}_Z^A\text{X}$ je mateřské jádro.
• ${}_{Z-2}^{A-4}\text{Y}$ je dceřiné jádro (posunuté v periodické tabulce o dvě místa vlevo).
• ${}_2^4\text{He}$ je emitovaná částice $\alpha$ (jádro hélia).
• $A\dots$ Nukleonové číslo
• $Z\dots$ protonové číslo

137. Napište rovnici popisující radioaktivitu ${\beta }^{-}$. (2b.)

? ${}_Z^A\text{X}{\to }_{Z+1}^A\text{Y}{+}_{-1}^0\text{e}+{\overline{\nu }}_e$ Značky:

• ${}_Z^A\text{X}$ je mateřské jádro.
• ${}_{Z+1}^A\text{Y}$ je dceřiné jádro (posunuté v periodické tabulce o jedno místo vpravo).
• ${}_{-1}^0\text{e}$ je emitovaný elektron (částice ${\beta }^{-}$).
• ${\overline{\nu }}_e$ je elektronové antineutrino

138. Napište rovnici popisující radioaktivitu ${\beta }^{+}$. (2b.)

? ${}_Z^A\text{X}{\to }_{Z-1}^A\text{Y}{+}_{+1}^0\text{e}+{\nu }_e$ Značky:

• ${}_Z^A\text{X}$ je mateřské jádro.
• ${}_{Z-1}^A\text{Y}$ je dceřiné jádro (posunuté v periodické tabulce o jedno místo vlevo).
• ${}_{+1}^0\text{e}$ je emitovaný pozitron (částice ${\beta }^{+}$).
• ${\nu }_e$ je elektronové neutrino

139. Napište rovnici popisující záchyt elektronu. (2b.)

? ${}_Z^A\text{X}{+}_{-1}^0\text{e}{\to }_{Z-1}^A\text{Y}+{\nu }_e$ Značky:

• ${}_Z^A\text{X}$ je mateřské jádro.
• ${}_{-1}^0\text{e}$ je elektron z vnitřní slupky atomového obalu.
• ${}_{Z-1}^A\text{Y}$ je dceřiné jádro.
• ${\nu }_e$ je elektronové neutrino.

Otázky za 3 body

140. Z Boltzmannova rozdělení odvoďte Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení. (3b.)

$p_i(E_i)=$ todo

141. Z Maxwellova-Boltzmannova rozdělení odvoďte nejpravděpodobnější rychlost molekul. (3b.)

? Maxwell-Boltzmanovo rozdělení: $\rho (v)=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{v}^{2}exp\left(-\frac{m}{2k_{B}T}{v}^2\right)$ Úprava: $\rho (v)=A{v}^2{e}^{-B{v}^2}$

• $A=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}$
• $B=\frac{m}{2k_{B}T}$ Maximum: $\frac{dp(v)}{dv}=2A{e}^{-B{v}^2}[v-B{v}^3]=0$ Úprava: $v(1-B{v}^2)=0$ Řešení:
• $v=0$ neřešíme
• $v=\infty$ nesmysl
• $v=-\sqrt{\frac{1}{B}}$ nesmysl
• $v=\sqrt{\frac{1}{B}}$ Výsledek: $v_p=\sqrt{\frac{2k_{B}T}{m}}$

142. Uvažujte, že pro vnitřní energii TS platí $U=U(T,V)$. Odvoďte obecný vztah pro tepelnou kapacitu za stálého objemu. (3b.)

? 1. TD zákon + Objemová práce: $\delta Q=dU+\delta W=dU+PdV$ Totální diferenciál vnitřní energie: $dU={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}dV$ Dosazení $dU$ do $\delta Q$: $\delta Q={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}dV+PdV$ Stálý (konstantní) objem $dV=0$: $\delta Q_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}dT$ Tepelná kapacita: $C=\frac{\delta Q}{dT}$ Výsledek: $C_V={\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)}_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V$

143. (3b.)

144. (3b.)

145. (3b.)

146. Odvoďte rovnici adiabaty. (3b.)

? Z entalpie skripta 36. strana $C_V=\frac{dU}{dT}$ $C_P=\frac{dH}{dT}$ Dosazení: $\delta Q=C_{V}dT+PdV$ $\delta Q=C_{P}dT-VdP$ Adiabatická změna $\delta Q=0$: $C_{V}dT=-PdV$ $C_{P}dT=VdP$ Vzájemné podělení rovnic: $\frac{V}{P}\frac{dP}{dV}=-\frac{C_P}{C_V}=-\gamma$ Úprava: $\frac{dP}{P}=-\gamma \frac{dV}{V}$ Integrace: $P{V}^{\gamma }=konst.$

147. Odvoďte vztah pro změnu entropii při izotermickém ději. (3b.)

? Definice změny entropie: $dS=\frac{\delta Q}{T}$ Konečná změna: $\Delta S={\int }_1^2\frac{\delta Q}{T}$ 1. TD zákon + Objemová práce: $\delta Q=dU+\delta W=dU+PdV$ Vnitřní energie ideálního plynu závisí na teplotě $dU=0$: $\delta Q=PdV$ Dosazení: $\Delta S={\int }_{V_1}^{V_2}\frac{P}{T}dV=\frac{1}{T}{\int }_{V_1}^{V_2}PdV$ Ideální plyn: $PV=nRT$ Úprava: $P=\frac{nRT}{V}$ Dosazení: $\Delta S=\frac{1}{T}{\int }_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}dV=nR{\int }_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}dV$ Integrace: $\Delta S=nR\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

148. Odvoďte vlnovou rovnici pro akustický tlak. (3b.)

? Eulerova pohybová rovnice pro ideální plyny: ${\rho }_0\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\nabla p^{\prime }$ Zlinearizovaná rovnice kontinuity: $\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\rho }_0\nabla \cdot \vec{v}=0$ Zlinearizovaná stavová rovnice pro ideální plyny: $p^{\prime }=c_0^2{\rho }^{\prime }\Rightarrow {\rho }^{\prime }=\frac{p^{\prime }}{c_0^2}$ Dosazení:

$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\nabla \cdot \vec{v}=0$ Derivace: $\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial t^2}=\frac{-{\rho }_0\vec{\nabla }\cdot \vec{v}}{\partial t}$ Výsledek: ${\nabla }^2{p}^{\prime }=\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial t^2}$

149. Odvoďte vlnovou rovnici pro akustickou rychlost. (3b.)

? Eulerova pohybová rovnice pro ideální plyny: ${\rho }_0\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\nabla p^{\prime }$ Zlinearizovaná rovnice kontinuity: $\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\rho }_0\nabla \cdot \vec{v}=0$ Zlinearizovaná stavová rovnice pro ideální plyny: $p^{\prime }=c_0^2{\rho }^{\prime }\Rightarrow {\rho }^{\prime }=\frac{p^{\prime }}{c_0^2}$ Dosadím: ${\rho }_0\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\nabla \cdot \vec{v}=0$ Zderivujeme: ${\rho }_0\frac{{\partial }^2\vec{v}}{\partial t^2}=-\nabla \frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}$ Dosadíme: ${\rho }_0\frac{{\partial }^2\vec{v}}{\partial t^2}={\rho }_0{c}_0^2\nabla (\nabla \cdot \vec{v})$ Výsledek: ${\nabla }^2\vec{v}=\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2\vec{v}}{\partial t^2}$

150. Odvoďte vztah pro výpočet rychlosti šíření lineárních akustických vln. (3b.)

? $PV=nRT$ $P\frac{m}{\rho }=nRT$ $P=\frac{nR}{m}\rho T=\frac{R}{M_m}\rho T$ $P=R^{\prime }\rho T$ $c_0=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}$ $c_0=\sqrt{R^{\prime }\gamma T_0}$ Značky:

• $\gamma \dots$ adiabatický exponent
• $R^{\prime }\dots$ měrný plynový exponent
• $T\dots$ teplota

151. Odvoďte vlnovou rovnici pro intenzitu elektrického pole pro nevodivé prostředí. (3b.)

? Maxwellovy rovnice: $\nabla \cdot \vec{E}=0$ $\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ $\nabla \times B=\mu \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ Rotace: $\nabla \times \nabla \times \vec{E}=\nabla \times \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)$ Úprava: $\nabla \times \nabla \times \vec{E}=\nabla (\nabla \times \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}=-{\nabla }^2\vec{E}$ $\nabla \times \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial (\nabla \times \vec{B})}{\partial t}=-\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$ Dosazení: $-{\nabla }^2\vec{E}=-\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$ Úprava: ${\nabla }^2\vec{E}=\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$ Výsledek: ${\nabla }^2\vec{E}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

• $c=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$

152. Odvoďte vlnovou rovnici (telegrafní rovnici) pro elektrickou intenzitu šířící se dobrým vodičem. (3b.)

? Maxwellovy rovnice: $\nabla \times \vec{B}=\mu \gamma \vec{E}+\mu \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ $\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ Derivace: $\nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=\frac{\partial (\nabla \times \vec{B})}{\partial t}=\mu \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$ Rotace: $\nabla \times \nabla \times \vec{E}=\nabla \times \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)$ Úprava: $\nabla \times \nabla \times \vec{E}=\nabla (\nabla \times \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}=-{\nabla }^2\vec{E}$

Dosazení: $-{\nabla }^2\vec{E}=-\left(\mu \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}\right)$ Výsledek: ${\nabla }^2\vec{E}=\mu \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

• $c=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$

153. Odvoďte disperzní relaci pro elektromagnetickou vlnu ve vodivém prostředí. (3b.)

? ${\nabla }^2\vec{E}=\mu \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$ $\hat{\vec{E}}(\vec{r},t)=E_0{e}^{j(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)}$ ${\nabla }^2\vec{E}=-k^2\vec{E}$ $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=-j\omega \vec{E}$ $\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=-{\omega }^2\vec{E}$ $-k^2\vec{E}=-j\mu \gamma \omega \vec{E}-\mu \epsilon {\omega }^2\vec{E}$ Výsledek: $k^2=j\mu \gamma \omega +\mu \epsilon {\omega }^2$

154. Z Fermatova principu odvoďte zákon odrazu. (3b.)

? $t=\frac{\overline{AP}}{c}+\frac{\overline{PB}}{c}$ Úprava: $t=\frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{c}+\frac{\sqrt{(s-x{)}^2+h_2^2}}{c}=x(t)$ Minimalizace: $\frac{dt(x)}{dx}=\frac{x}{c\sqrt{x^2+h_1^2}}-\frac{s-x}{c\sqrt{(s-x{)}^2+h_2^2}}=0$ Úprava: $\frac{x}{c\sqrt{x^2+h_1^2}}=\frac{s-x}{c\sqrt{(s-x{)}^2+h_2^2}}$ Převedení na sinus: $\sin ({\alpha }_1)=\sin ({\alpha }_2)$ Výsledek: ${\alpha }_1={\alpha }_2$

155. Z Fermatova principu odvoďte zákon lomu (Snellův zákon). (3b.)

? $t=\frac{\overline{AP}}{c_1}+\frac{\overline{PB}}{c_2}$ Úprava: $t=\frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{c_1}+\frac{\sqrt{(s-x{)}^2+h_2^2}}{c_2}=x(t)$ Minimalizace: $\frac{dt(x)}{dx}=\frac{x}{c_1\sqrt{x^2+h_1^2}}-\frac{s-x}{c_2\sqrt{(s-x{)}^2+h_2^2}}=0$ Úprava: $\frac{x}{c_1\sqrt{x^2+h_1^2}}=\frac{s-x}{c_2\sqrt{(s-x{)}^2+h_2^2}}$ Převedení na sinus: $\frac{\sin \alpha }{c_1}=\frac{\sin \beta }{c_2}$ Dosazení $c_1=c_0/n_1$ a $c_2=c_0/n_2$ $n_1\sin \alpha =n_2\sin \beta$

156. Odvoďte vztah pro polohu interferenčních maxim v Youngově experimentu. (3b.)

? $\Delta s=s_2-s_1=\sqrt{d^2+(y+a{)}^2}-\sqrt{d^2+{\left(y-a\right)}^2}=d\sqrt{1+{\left(\frac{y+a}{d}\right)}^2}-d\sqrt{1+(\frac{y-a}{d}{)}^2}$ Předpoklad: $d\gg (y+a)$ Dosazení: ${\left(\frac{y+a}{d}\right)}^2\ll 1$ ${\left(\frac{y-a}{d}\right)}^2\ll 1$ Vzorec: $\sqrt{1+\epsilon }\approx 1+\frac{\epsilon }{2}$ Dosazení: $\Delta S=d\left[1+\frac{1}{2}{\left(\frac{y+a}{d}\right)}^2\right]-d\left[1+\frac{1}{2}{\left(\frac{y-a}{d}\right)}^2\right]$ Úprava: $\Delta S=d\left[\frac{y^2+2ay+a^2-y^2+2ay-a^2}{2d^2}\right]=\frac{2ay}{d}$ Podmínka maxima $\Delta S=m\lambda$: $\frac{2a{y}_{max}}{d}=m\lambda$ Úprava: $y_{max}=\frac{md\lambda }{2a}$

• $|m|=0,1,2,\dots$

157. Dokažte, že grupová rychlost materiálové vlny je rovna rychlosti částice. (3b.)

? $v_g=\frac{d\omega }{dk}=\frac{d\hslash \omega }{d\hslash k}=\frac{dE}{dp}=\frac{d}{dp}\sqrt{p^2{c}^2+m_0^2{c}^4}=\frac{p{c}^2}{\sqrt{p^2{c}^2+m_0^2{c}^4}}=\frac{p{c}^2}{E}=\frac{m(v)v{c}^2}{E}=\frac{Ev}{E}=v$

158. Z Maxwellových rovnic v bezmateriálovém prostředí (vakuu) ukažte, že u rovinné elektromagnetické vlny jsou vektory E, B a k navzájem kolmé a že tvoří pravotočivý systém. (3b.)

? $\nabla \cdot \vec{E}=0$ $\nabla \cdot \vec{B}=0$ $\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ Řešení telegrafní rovnice: $\hat{\vec{E}}(\vec{r},t)={\hat{\vec{E}}}_0{e}^{j(\hat{k}{k}_0\cdot \vec{r}-\omega t)}$ $\hat{\vec{B}}(\vec{r},t)={\hat{\vec{B}}}_0{e}^{j(\hat{k}{k}_0\cdot \vec{r}-\omega t)}$ Dosazení: $\hat{k}\overrightarrow{k_0}\cdot \widehat{\vec{E_0}}=0\text{resp.}\overrightarrow{k_0}\cdot \overrightarrow{E_0}=0$ $\hat{k}\overrightarrow{k_0}\cdot \widehat{\vec{B_0}}=0\text{resp.}\overrightarrow{k_0}\cdot \overrightarrow{B_0}=0$

• tedy $\vec{E}$ a $\vec{k}$ jsou na sebe kolmé
• tedy $\vec{B}$ a $\vec{k}$ jsou na sebe kolmé Dosazení: $\hat{k}\overrightarrow{k_0}\times \widehat{\vec{E_0}}=\omega \widehat{\vec{B_0}}$
• tedy $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou na sebe kolmé a zároveň kolmé na $\overrightarrow{k_0}$
• tvoří tedy pravotočivou soustavu

159. Z Planckova vyzařovacího zákona odvoďte Stefanův-Boltzmannův zákon. (3b.)

? Planckův vyzařovací zákon: ${\omega }_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi {\nu }^2}{c_0^3}\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}$ Celková hustota energie: $w(T)={\int }_0^{\infty }{w}_{\nu }(\nu ,T)d\nu$ Substituce: $x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ $dx=\frac{h}{k_{B}T}d\nu$ Dostáváme: $w(T)=\frac{8\pi k_B^4}{h^3{c}_0^3}{T}^4{\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx$ Vypočet: $w(T)=\frac{8\pi k_B^4}{h^3{c}_0^3}{T}^4\frac{{\pi }^4}{15}$ Přepsat: $M^{e0}=\frac{c_{0}w}{4}=\frac{2{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}_0^2}{T}^4$ Výsledek: $M^{e0}=\sigma T^4$ Pro reálná tělesa: $M^e=\epsilon \sigma T^4$

160. Z Planckova vyzařovacího zákona odvoďte Wienův posunovací zákon. (3b.)

? Planckův vyzařovací zákon: ${\omega }_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi {\nu }^2}{c_0^3}\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}$ Podmínka: $\frac{\partial w_{\nu }(\nu ,T)}{\partial \nu }=0$ Dosazení: $\frac{8\pi h}{c_0^3}\frac{\partial }{\partial \nu }\left(\frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}\right)=0$ Substituce: $x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ Tedy: $\nu =\frac{k_{B}T}{h}x$ Dosazení: $\frac{8\pi k_B^3{T}^3}{h^2{c}_0^3}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x^3}{e^x-1}\right)=0$ Úprava: $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x^3}{e^x-1}\right)=\frac{3x^2(e^x-1)-x^3{e}^x}{(e^x-1{)}^2}=0$ Zjednodušení: $3x^2(e^x-1)-x^3{e}^x=0$ Numerické řešení: $x_{max}=2,82144$ Výsledek: ${\nu }_{max}=\frac{k_{B}T}{h}{x}_{max}=C_{V}T$

161. Proveďte Heuristické odvození Schrödingerovy rovnice. (3b.)

todo

162. Odvoďte vztah pro fázovou rychlost materiálové vlny. (3b.)

? $v_F=\frac{\omega }{k}=\frac{\hslash \omega }{\hslash k}=\frac{E}{p}=\frac{E}{m(v)v}=\frac{c^{2}E}{m(v)c^{2}v}=\frac{c^{2}E}{Ev}=\frac{c^2}{v}$

163. Dokažte, že vlnová funkce volné částice $\Psi (t,x)={\Psi }_0\exp [\frac{i}{\hslash }(px-Et)]$ je řešením nestacionární Schrödingerovy rovnice. (3b.)

todo

164. Dokažte, že operátory $\hat{x}$ a ${\hat{p}}_x$ vzájemně nekomutují. (3b.)

? $\hat{x}=x$ $\widehat{p_x}=-j\hslash \frac{\partial }{\partial x}$ Komutace operátorů: $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ Dosazení: $[\widehat{p_x},\hat{x}]=\widehat{p_x}\hat{x}-\hat{x}\widehat{p_x}$ Roznásobení: $[\widehat{p_x},\hat{x}]\psi =(\widehat{p_x}\hat{x}-\hat{x}\widehat{p_x})\psi$ Výpočty: $\widehat{p_x}\hat{x}\psi =-j\hslash \frac{\partial }{\partial x}(x\psi )=-j\hslash \psi -j\hslash x\frac{\partial \psi }{\partial x}$ $\hat{x}\widehat{p_x}\psi =x\left(-j\hslash \frac{\partial }{\partial x}\right)\psi =-j\hslash x\frac{\partial \psi }{\partial x}$ Dosazení: $[\widehat{p_x},\hat{x}]\psi =-j\hslash \psi$ Výsledek: $[\widehat{p_x},\hat{x}]=-j\hslash \ne 0$

165. Dokažte, že v případě, kdy se částice pohybuje rychlostí $v<c$, dochází k disperzi materiálových vln. (3b.)

? $v_g=v$ $v_F=\frac{c^2}{v}$ Předpoklad: $v_g\ne v_F\Rightarrow \text{dochaˊzıˊ k disperzi}$ Dosazení: $v_g=v_F$ $\frac{c^2}{v}=v$ právě tehdy když: $v=c$ Pak: $c=c$

166. Odvoďte vztah pro dovolené hladiny energie v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L. (3b.)

? $U(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{pro}0\le x\le L\\ \infty & \text{kdekoliv jinde}\end{array}$ Řešení Schrödingerovy rovnice pro $x\in ⟨0;a⟩$ $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\Phi (x)}{\partial x^2}=E\Phi (x)$ Úprava: $\frac{{\partial }^2\Phi (s)}{\partial x^2}+k^2\Phi (x)=0$ kde: $k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$ Podmínky:

• $\Phi (x=0)=0$
• $\Phi (x=L)=0=\sin (kL)$ Obecné řešení: $\Phi (x)=A\sin (kx)+B\cos (kx)$ Pro podmínky: $\Phi (x)=A\sin (kx)$ a platí: $k_n=\frac{\pi }{L}n$
• $n=1,2,3,\dots$ Výsledek: $E_n=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}{n}^2$
• $n=1,2,3,\dots$

167. Napište vztah pro Fermiho-Diracovo rozdělení, uveďte jeho význam a zakreslete jeho průběh pro $T_1=0$ K a $T_2>0$ K. (3b.)

? $f_{FD}(E)=\frac{1}{e^{\frac{E-E_F}{k_{B}T}}+1}$

• Udává pravděpodobnost s jakou bude elektronem obsazen stav s energií $E$ při teplotě $T$. Značky:
• $E\dots$ energie stavu
• $E_F\dots$ Fermiho energie
• $T\dots$ teplota

168. Z rozpadové rovnice odvoďte časový průběh počtu nerozpadlých jader $N(t)$ a vztah pro poločas rozpadu. (3b.)

? $dN=-N\lambda dt$ $\frac{dN}{N}=-\lambda dt$ ${\int }_{N(0)}^{N(t)}\frac{dN}{N}=-\lambda {\int }_0^{t}dt$

• kde $N_0=N(t=0)$ $\ln (N(t))-\ln (N_0)=-\lambda t$ Odlogaritmovat: $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ Poločas rozpadu: $\frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}$ $\frac{1}{2}=e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}$ $-\ln (2)=-\lambda T_{\frac{1}{2}}$ $T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$