Fourierova transformace pro spojité periodické signály

Signál a spektrum:

Signál: spojitý a periodický Spektrum: aperiodické, diskrétní

Značky:

$C_k=\frac{A_k}{2}{e}^{j{\omega }_{k}t}$ - koeficienty Fourierovy řady/Komplexní spektrum $|C_k|=\frac{A_k}{2}$ - Amplitudové ⁡spektrum $\angle C_k={\phi }_k$ - Fázové ⁡spektrum

Vzorce:

${\omega }_k=\frac{2\pi k}{T}=2\pi fk$

Výpočet FS

$C_k=\frac{1}{T}{\int }_{<T>}x(t)e^{-j{\omega }_{k}t}dt$

Výpočet inverzní FS

$x(t)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{C}_k{e}^{j{\omega }_{k}t}$

Spojité + periodické signály

Doplnění:

Reálná Fourierova řada

$$\begin{array}{r}\sum _{k=0}^{\infty }{A}_k\cos (k\omega t+{\phi }_k)\end{array}$$

Komplexní Fourierova řada

$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{C}_k{e}^{j{\omega }_{k}t}$$

• ${\omega }_k=\omega k=2\pi kf=\frac{2\pi k}{T}$
• $C_k\dots$ koeficienty Fourierovy řady/Koplexní spektrum

Pro reálné signály:

• $C_{-k}=C_k^{\ast }$
• $|C_{-k}|=|C_k|$
• $\angle C_{-k}=-\angle C_k$

Příklad