Fourierova transformace v diskrétním čase

Signál a spektrum:

Signál: diskrétní, aperiodický Spektrum: spojité, periodické

Značky:

$X(\Omega )$ - Komplexní spektrum $x[n]$ $|X(\Omega )|$ - Amplitudové spektrum $\angle X(\Omega )={\phi }_x(\Omega )$ - Fázové spektrum

Vzorce:

$t\text{[s]}=n{T}_s$ $f_s\text{[Hz]}=\frac{1}{T_s}\dots$ vzorkovací⁡ frekvence $\Omega \text{[rad]}=\omega T_s=2\pi \frac{f}{f_s}\dots$ Normovaná frekvence

Výpočet DTFT

$X(\Omega )={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}$

Výpočet inverzní DTFT

$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }X(\Omega )e^{j\Omega n}d\Omega$

Doplnění:

Pro reálné signály: $X(-\Omega )=X^{\ast }(\Omega )$ $|X(-\Omega )|=|X(\Omega )|$ ${\phi }_x(-\Omega )=-{\phi }_x(\Omega )$

$X(2\pi -\Omega )=X^{\ast }(\Omega )$ $|X(2\pi -\Omega )|=|X(\Omega )|$ ${\phi }_x(2\pi -\Omega )=-{\phi }_x(\Omega )$

Příklad