Testy

1. (3 body) Vypočítejte průměrnou hodnotu, okamžitý výkon, průměrný výkon a energii následujícího deterministického signálu v intervalu $t\in (-5,5)$.

$x(t)=t$ ?

• Průměrná hodnota: $Avgx(t)=\frac{1}{10}{\int }_{-5}^{5}t\text{d}t=\frac{1}{10}[\frac{t^2}{2}{]}_{-5}^5=\frac{1}{20}[25-25]=0$
• Okamžitý výkon: $p(t)=|x(t){|}^2=t^2$
• Průměrný výkon: $P=Avg|x(t){|}^2=\frac{1}{10}{\int }_{-5}^5{t}^2\text{d}t=\frac{1}{10}[\frac{t^3}{3}{]}_{-5}^5=\frac{1}{30}[125+125]=\frac{250}{30}$
• Energie: $E={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^2\text{d}t=[\frac{t^3}{3}{]}_{-5}^5=\frac{1}{3}[125+125]=\frac{250}{3}$

2. (3 body) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku spojitého LTI systému s následující přenosovou funkcí.

$H(s)=\frac{s^2+9}{s^2+2s+5}$ ? $s^2=-9\Rightarrow s=\pm 3i$ $\frac{-2\pm \sqrt{4-4\ast 5}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$ $H(s)=\frac{(s+3i)(s-3i)}{(s-(-1+2i))(s-(-1-2i))}$

3. (4 body) Vypočtěte frekvenční charakteristiku a nalezněte nuly a póly systému s následující impulzní odezvou:

$h(t)=\{\begin{array}{ll}\delta (t)-\sin (2t),& t\ge 0\\ 0,& jinak\end{array}$ ? H(s) = \mathcal{L}\{\delta(t)\mathrm{1} - \sin{(2t)\mathrm{1(t)}}\} = 1 - \frac{2}{s^2+4} = \frac{s^2+4-2}{s^2+4} = \frac{s^2+2}{s^2+4} = \frac{(s-i\sqrt{2})(s+i\sqrt{2})}{#}

4. (4 body) Nalezněte přenosovou funkci systému s Bodeho charakteristikou uvedenou níže.

? $H(s)=K\frac{s+\text{nula}}{s+\text{poˊl}}=0,1\frac{s+10^0}{s+10^2}$

5. (11 bodů) Pohyb kyvadla může být aproximován následující diferenciální rovnicí:

${\Phi }^{\prime \prime }(t)+6{\Phi }^{\prime }(t)+9\Phi (t)=0$ kde $\Phi (t)$ je úhel vychýlení kyvadla.

a) (1 bod) Napište charakteristickou rovnici a nalezněte její kořeny.

b) (2 body) Rozhodněte, zda je systém stabilní a své rozhodnutí zdůvodněte.

c) (2 body) Nalezněte relativní tlumení a vlastní frekvenci (frekvenci netlumených kmitů).

d) (2 body) V případě, že je to možné, rozhodněte, zda je systém podkriticky tlumený, kriticky tlumený nebo nadkriticky tlumený. Své rozhodnutí zdůvodněte.

e) (2 body) Napište řešení $\Phi (t)$ pro všeobecné počáteční podmínky.

f) (2 body) Načrtněte odezvu systému při libovolných nenulových počátečních podmínkách.

?

• a)
  • ${\lambda }^2+6\lambda +9=0$
  • ${\lambda }_{1;2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}=-3$
• b)
  • stabilní
  • všechny póly jsou v levé polo-rovině - reálná část je záporná (spojitý systém)
• c)
  • ${\lambda }^2+2\zeta {\omega }_0\lambda +{\omega }_0^2$
  • ${\omega }_0=3$, $\zeta =1$
• d)
  • kriticky tlumený
  • $\zeta =1$ (stejné záporné reálné kořeny)
• e)
  • $\Phi (t)=C_1{e}^{-3t}+C_2{e}^{-3t}$
• f)
  • 

6. (3 body) Spojitý systém s impulzní odezvou $h(t)=\delta (t)-\delta (t-1)$ má na vstupu signál $x(t)=t^2$. Vypočtěte signál na výstupu systému.

? $y(t)=h(t)\ast x(t)=t^2\delta (t)-t^2\delta (t-1)=t^2-(t-1{)}^2=2t-1$

7. (10 bodů) Spojitý LTI systém je popsaný následující přenosovou funkcí

$H(s)=\frac{s}{s^2+3s+2}$

a) (1 bod) Napište diferenciální rovnici systému.

b) (1 bod) Nalezněte nuly a póly systému.

c) (2 body) Rozhodněte, zda je systém stabilní a své rozhodnutí zdůvodněte.

d) (4 body) Pomocí Laplaceovy transformace nalezněte výstup systému, když jeho vsup je $u(t)=e^{-3t}1(t)$ a počáteční podmínky jsou $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$.

e) (2 body) Nakreslete schéma systému. Použijte Frobéniův tvar kanonický k výstupu.

?

• a)
  • $H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s}{s^2+3s+2}\Rightarrow Y(s)(s^2+3s+2)=X(s)s$
  • $y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=u^{\prime }(t)$
• b)
  • $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{-3\pm 1}{2}=\{-2;-1\}$
  • Nuly: $0$
  • Póly: $-2$; $-1$
• c)
  • Stabilní
  • všechny póly jsou v levé polo-rovině - reálná část je záporná (spojitý systém)
• d)
  • $U(s)=\frac{1}{s+3}$
  • $Y(s)=H(s)\cdot U(s)=\frac{s}{s^2+3s+2}\frac{1}{s+3}=\frac{s}{(s+1)(s+2)(s+3)}=\frac{-1/2}{s+1}+\frac{2}{s+2}+\frac{-3/2}{s+3}$
  • $y(t)=(\frac{-1}{2}{e}^{-t}+2e^{-2t}+-\frac{3}{2}{e}^{-3t})1(t)$
• e)
  • todo

8. (10 bodů) Diskrétní LTI systém je popsaný následující diferenční rovnicí (y[n] - výstup, u[n] - vstup)

$y[n]=u[n]-u[n-1]-0,5y[n-1]$

a) (2 body) Nalezněte přenosovou funkci a její nuly a póly.

b) (2 body) Rozhodněte, zda je systém stabilní a své rozhodnutí zdůvodněte.

c) (2 body) Vypočtěte přechodovou odezvu systému (tj. odezvu na jednotkový skok).

d) (2 body) Napište frekvenční charakteristiku systému.

e) (2 body) Nakreslete schéma systému. Použijte Frobéniův tvar kanonický ke vstupu.

?

• a)
  • $Y(z)+0,5Y(z)z^{-1}=U(z)-U(z)z^{-1}$
  • $Y(z)(1+0,5z^{-1})=U(z)(1-z^{-1})$
  • $H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{1-z^{-1}}{1+0,5z^{-1}}=\frac{z-1}{z+0,5}$
• b)
  • Pól: $-0,5$
  • Stabilní
  • Póly jsou uvnitř jednotkové kružnice (diskrétní systém)
• c)
  • $W(z)=H(z)\cdot \mathcal{Z}\{1[n]\}=\frac{z-1}{z+0,5}\frac{z}{z-1}=\frac{z(z-1)}{(z-1)(z+0,5)}$
• d)
  • $H(j\omega )=\frac{j\omega -1}{j\omega +0,5}$
• e)
  • todo

9. (3 body) Diskrétní filtr s amplitudovou frekvenční charakteristikou na obrázku níže, je aplikovaný na signál navzorkovaný se vzorkovací frekvencí $f_s=1\text{kHz}$ (před navzorkováním byl spojitý signál omezen na frekvenční pásmo $0-500\text{Hz}$). Jaké frekvenční pásmo tento filtr propouští? Frekvenční pásmo vyjádřete v Hz.

? Propouští pásmo $0-250\text{Hz}$ Dolní propust

10. (3 body) Vypočtěte Laplaceovu transformaci následující funkce.

$f(t)=51(t)-\delta (t-4)+2e^{-t}\sin (2t)+3e^t\cos (4t)-e^{-3t}1(t)$ ? $F(s)=5\frac{1}{s}-e^{4s}+2\frac{2}{(s+1{)}^2+4}+3\frac{(s-1)}{(s-1{)}^2+16}-\frac{1}{s+3}$

11. (3 body) Jaká je přenosová funkce následujícího spojení LTI systémů s přenosovými funkcemi $H_1(s)$ a $H_2(s)$?

? $H_1(s)(X(s)-H_2(s)Y(s))=Y(s)$ $H_1(s)X(s)=Y(s)(1+H_1(s)H_2(s))$ $Y(s)=\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}X(s)$

12. (2 body) Vypočtěte Z-transformaci následující funkce

$x[n]=3\delta [n-2]+0,2^{n-3}1[n-3]+21[n]$ ? $X(z)=3z^{-2}+\frac{z}{z-0,2}{z}^{-3}+2\frac{z}{z-1}$

13. (4 body) Vypočtěte počáteční a konečnou hodnotu signálu s Laplaceovým obrazem

$X(s)=\frac{s+1}{(s+3)(s+2)}$ ?

• Počáteční:
  • ${\lim }_{s\to \infty }sX(s)={\lim }_{s\to \infty }\frac{s^2+s}{s^2+5s+6}=1$
• Koncová:
  • ${\lim }_{s\to 0}sX(s)={\lim }_{s\to 0}\frac{s^2+s}{s^2+5s+6}=0$

14. (4 body) Systém je popsaný následující diferenciální rovnicí

$y^{\prime \prime }(t)-6y^{\prime }(t)+8y(t)=0$ $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=2$ Vypočtěte $y(t)$ pomocí Laplaceovy transformace. ? $s^{2}Y(s)-s-2-6sY(s)+6+8Y(s)=0$ $Y(s)(s^2-6s+8)=s-4$ $Y(s)=\frac{s-4}{s^2-6s+8}=\frac{s-4}{(s-2)(s-4)}=\frac{1}{s-2}+\frac{0}{s-4}$ $y(t)=e^{2t}1(t)$

15. (5 bodů) Spojitý LTI systém je daný následujícími stavovými maticemi.

undefined