Zkouška

Základy

Sinus a cosinus

Cosinus

$\cos (\phi )=\frac{e^{j\phi }+e^{-j\phi }}{2}$

Sinus

$\sin (\phi )=\frac{e^{j\phi }-e^{-j\phi }}{2j}$

Exponenciála

Exponenciála

\begin{align}x(t) &= Ae^{s t}, & A&=|A|e^{j\varphi}, & s &= \sigma + j \omega \end{align}

Vztahy:

• $\omega =2\pi f\dots$ kruhová frekvence
• $A\dots$ amplituda
• $\phi \dots$ fáze
• $f\dots$ frekvence

Diracův impuls

Diracův impuls - Integrál

${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$

Diracův impuls - Integrál funkce

${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-t_0)dt=x(t_0)$

Výkon

Výkon - Aktuální

$p(t)=|x(t){|}^2$

Výkon - Průměrný

$P=Avg\{|x(t){|}^2\}$

Energie

Energie

$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt$

Efektivní hodnota (RMS)

Efektivní hodnota

$X_{RMS}=\sqrt{P}$

Fourierova transformace

Dělení

CTFT

CTFT

$X(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$

CTFT - Inverzní

$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

DFT

DFT

$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$

DFT - Inverzní

$x[n]=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$

DTFT

DTFT

$X(\Omega )={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}$

DTFT - Inverzní

$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }X(\Omega )e^{j\Omega n}d\Omega$

FS

FS

$C_k=\frac{1}{T}{\int }_{<T>}x(t)e^{-j{\omega }_{k}t}dt$

FS - Inverzní

$x(t)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{C}_k{e}^{j{\omega }_{k}t}$

Diskrétní LTI

Dolní propust

Koukám jen od 0 do $\pi$, pak už je to jen symetrie

Horní propust

Koukám jen od 0 do $\pi$, pak už je to jen symetrie

Pásmová propust

Koukám jen od 0 do $\pi$, pak už je to jen symetrie

Pásmová zádrž

Koukám jen od 0 do $\pi$, pak už je to jen symetrie

FIR

Diferenční rovnice

$y[n]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{M}x[n-M]$

Impulzní odezva

$h=[b_0,b_1,\dots ,b_M]$

Příklad

druhý řád

Diferenční rovnice

$y[n]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]b_1$

IIR

Diferenční rovnice

${\sum }_{k=0}^M{a}_{k}y[n-k]={\sum }_{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$

Impulzní odezva

$h=[b_0;b_1;\dots ;b_M]$

Příklad

druhý řád

Diferenční rovnice

$a_{0}y[n]+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]=x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]$

Konvoluce

• dám $x[n]$ pod to napravo $h[n]$
• postupně násobím $x[n]$ jedním $h[n]$
• každý řádek posunu o jedna doprava
• sečtu všechny řádky

Impulsová odezva

Impulsová odezva

\begin{align}&h[n] &h(t)\end{align}

Impulsová odezva z přechodové odezvy

$h(t)=\frac{dw(t)}{dt}$

Frekvenční charakteristika

Frekvenční charakteristika

\begin{align}&H[\Omega]=\mathcal{F}\{h[n]\} &H(\omega)=\mathcal{F}\{h(t)\}\end{align}

Fázové a skupinové zpoždění

Formula

\begin{align}\tau_p &= -\frac{\varphi_H(\Omega)}{\Omega} & \tau_g &= - \frac{d\varphi_H(\Omega)}{d\Omega}\end{align}

Normalizovaná frekvence $\Omega$

Normalizovaná frekvence $\Omega$

$\Omega =\omega T_s=2\pi \frac{f}{f_s}$

Klasifikace kořenů

• Stabilní - Záporná reálná část
  • Nadkriticky tlumené - Různé reálné kořeny
  • Kriticky tlumené - Stejné reálné kořeny
  • Podkriticky tlumené - Komplexně sdružené (reálné i imaginární) kořeny
• Semistabilní/Netlumený (na hraně stability) - Nulová reálná část
• Nestabilní - Kladná reálná část

Relativní tlumení a vlastní úhlová frekvence

Relativní tlumení $\zeta$

$y^{\prime \prime }(t)+2\zeta {\omega }_0{y}^{\prime }(t)+{\omega }_0^2(t)=0$

Diferenciální rovnice

První řád

Charakteristická rovnice: $a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=0$ Kořen charakteristické rovnice: $\lambda =-\frac{a_0}{a_1}$ Řešení: $y(t)=A{e}^{-\frac{a_0}{a_1}t}=y_0{e}^{\frac{a_0}{a_1}{t}_0}{e}^{-\frac{a_0}{a_1}t}$

Druhý řád

Charakteristická rovnice: $a_2{y}^{\prime \prime }(t)+a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=0$ Řešení: $y(t)=A_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+A_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

Přechodová odezva

Přechodová odezva

$w(t)$

Přechodová odezva z impulsové odezvy

$w(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau$

Systém statický vs. astatický

Otázky

Průměrná hodnota signálu

Formula

$Avg\{x(t)\}=\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}x(t)dt$

Okamžitý výkon signálu

Okamžitý výkon

$p(t)=|x(t){|}^2$

Průměrný výkon signálu

Průměrný výkon

$P=Avg\{|x(t){|}^2\}$

Energie signálu

Energie

$E={\int }_{T_1}^{T_2}|x(t){|}^{2}dt$

Náčrt H(s)

• je to Z-plane zboku
• x osa je Im osa Z-plane
• y osa je výška
• nula to táhne dolů
• pól to táhne do $+\infty$

Vypočtěte H(s) z h(t)

Laplace $H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}$

Určete nuly a póly H(s)

• nuly jsou kořeny pro čitatel
  • když čitatel je jen $s\Rightarrow$ nula v 0
  • když čitatel nemá $s\Rightarrow$ nula v $\infty$
• póly jsou kořeny pro jmenovatel

Nalezněte H(s) z Bodeho

$H(s)=K\frac{(\text{s+nula})\dots }{(\text{s+poˊl})\dots }$ $K$ je amplituda z dB na lineární

Diferenciální rovnice

Charakteristická rovnice

• Charakteristická rovnice 1. řád : $a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=0$
  • Kořen: $\lambda =-\frac{a_0}{a_1}$
  • Řešení: $y(t)=A{e}^{\lambda t}$
• Charakteristická rovnice 2. řád : $a_2{y}^{\prime \prime }(t)+a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=0$
  • Kořeny:
    • řády derivací přepíšu na mocniny $\lambda$ ($y^{\prime \prime }(t)\to {\lambda }^2$)
    • dosadím rovné nule: \begin{align}\Phi''(t)+6\Phi'(t)+9\Phi(t)&=0 & \Rightarrow & & \lambda^2 + 6\lambda + 9 = 0\end{align}
  • Řešení: $y(t)=A_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+A_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

Kořeny charakteristické rovnice

• kořeny $\lambda$ (řešení) ${\lambda }_{1;2}=-3$

Stabilita (zdůvodnění)

• Stabilní když póly mají zápornou reálnou část undefined

Relativní tlumení a vlastní frekvence

Relativní tlumení $\zeta$ a vlastní frekvence ${\omega }_0$

$y^{\prime \prime }(t)+2\zeta {\omega }_0{y}^{\prime }(t)+{\omega }_0^2(t)=0$

\begin{align}\omega_0 &= 3 & \zeta &= 1\end{align}

Tlumení (zdůvodnění)

(Nadkriticky, kriticky, podkriticky)

• Stabilní - Záporná reálná část
  • Nadkriticky tlumené - Různé reálné kořeny
  • Kriticky tlumené - Stejné reálné kořeny
  • Podkriticky tlumené - Komplexně sdružené (reálné i imaginární) kořeny
• Semistabilní/Netlumený (na hraně stability) - Nulová reálná část
• Nestabilní - Kladná reálná část

Řešení pro všeobecné počáteční podmínky

• y(t) podle řádu
  • $y(t)=A{e}^{\lambda t}$
  • $y(t)=A_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+A_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

Náčrt odezvy při libovolných nenulových počátečních podmínkách

h(t) + x(t) vypočítat y(t)

• $y(t)=h(t)\ast x(t)$
• $H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}$
• $X(s)=\{x(t)\}$
• $Y(s)=H(s)\cdot X(s)$
• $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{Y(s)\}$

H(s)

$H(s)=\frac{s}{s^2+3s+2}$

Diferenciální rovnice

• $H(s)=\frac{s}{s^2+3s+2}\Rightarrow Y(s)(s^2+3s+2)=X(s)(s)$
• $s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=sX(s)\Rightarrow y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=x^{\prime }$

Nuly a póly

• Nuly kořeny čitatele $H(s)$
• Póly kořeny jmenovatele $H(s)$

Stabilita (zdůvodnění)

• Stabilní když póly mají zápornou reálnou část

Laplace najít y(t) z u(t) a počátečních podmínek

• $U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}$
• $Y(s)=U(s)\cdot H(s)$
• $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{Y(s)\}$

Nákres schématu (Frobeniův tvar)

• FIR
• IIR

Je systém astatický (zdůvodnění)

todo

Vztah pro frekvenční charakteristiku

todo

Diferenční rovnice

$y[n]=u[n]-u[n-1]-0,5y[n-1]$

Přenosová funkce

• $y[n]=u[n]-u[n-1]-0,5y[n-1]\Rightarrow Y(z)+0,5Y(z)z^{-1}=X(z)-X(z)z^{-1}$
• $Y(z)(1+0,5z^{-1}=X(z)(1-z^{-1})\Rightarrow \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1-z^{-1}}{1+0,5z^{-1}}$
• $H(z)=\frac{1-z^{-1}}{1+0,5z^{-1}}=\frac{z-1}{z+0,5}$

Nuly a póly

• Nuly kořeny čitatele $H(z)$
• Póly kořeny jmenovatele $H(z)$

Stabilita (zdůvodnění)

• Když póly jsou v jednotkové kružnici

Přechodová odezva systému (odezva na jednotkový skok)

• $U(z)=H(z)\cdot \mathcal{L}\{1(t)\}$
• $U(z)=\frac{z-1}{z+0,5}\cdot \frac{z}{z-1}=\frac{z^2-z}{(z+0,5)(z-1)}$

Frekvenční charakteristiku systému

• $H(z)\stackrel{z=e^{j\omega }}{\to }H(e^{j\omega })=\frac{e^{j\omega }-1}{e^{j\omega }+0,5}$

Schéma systému (Frobéniuv tvar)

FIR

• IIR

Vztah pro amplitudovou frekvenční charakteristiku a náčrtek

Výstup když na vstupu je u[n]

Diskrétní filtr - určit pásmo propustnosti z f_s a H(\Omega)

• Vzorkovací frekvence je na $2\pi$

Laplace z f(t)

Přenosová funkce ze schématu (bloky)

• $H_1(s)(X(s)-H_2(s)Y(s))=Y(s)$
• $H_1(s)X(s)-H_1(s)H_2(s)Y(s)=Y(s)$
• $Y(s)=\frac{H_1}{1+H_1(s)H_2(s)}X(s)$

Z-transformace z x[n]

Počáteční a koncová hodnota X(s) společně s Laplace obrazem

Diferenciální rovnice vypočítat y(t) pomocí Laplace

$y^{\prime \prime }(t)-6y^{\prime }(t)+8y(t)=0$ $y(0)=1,y^{\prime }(0)=2$

• $Y(s)s^2-sy(0)-1y^{\prime }(0)-6[Y(s)s-y(0)]+8Y(s)=0$
• $(Y(s)s^2-s-2)-6[sY(s)-1]+8Y(s)=0$
• $Y(s)(s^2-6s+8)-s-8$
• $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{Y(s)\}$

Z matic ABCD určit nuly a póly

• $H(s)=C\cdot (s1-A{)}^{-1}\cdot B+D$
• z $H(s)$ čitatele nuly
• z $H(s)$ jmenovatele póly

Z matic ABCD určit vnější popis

• $x_1^{\prime }=x_1-x_2+u$

• $x_2^{\prime }=2x_1-x_2$

• $y=x_1$

• $y^{\prime }=x_1^{\prime }\Rightarrow y^{\prime }=x_1-x_2+u\Rightarrow x_2=x_1-y^{\prime }+u$

• $x_2^{\prime }=x_1^{\prime }{y}^{\prime \prime }+u^{\prime }\Rightarrow (y^{\prime }-y^{\prime \prime }+u^{\prime })=2(y)-(y-y^{\prime }+i)$

• $y^{\prime \prime }(t)+y(t)=u^{\prime }(t)+u(t)$

Diskretizace pomocí impulzní invariance diferenciální rovnice

$y^{\prime }(t)+2y(t)=u(t)$

• $sY(s)+2Y(s)=U(s)\Rightarrow Y(s)=\frac{1}{s+2}U(s)$
• $H(s)=\frac{1}{s+2}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }h(t)=e^{-2t}$
• $h[n]=h(nT)=e^{-2(nT)}=e^{-0,5n}$
• $H(z)=\mathcal{Z}\{h[n]\}=\frac{1}{1-e^{-0,5}{z}^{-1}}$
• $H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{1}{1-e^{-0,5}{z}^{-1}}$
• $Y(z)(1-e^{-0,5}{z}^{-1})=U(z)$
• $y[n]-e^{-0,5}y[n-1]=u[n]$

Zlinearizovat nelineární stavový popis

$x_1^{\prime }(t)=\sqrt{u(t)x_1(t)}-4$ $y(t)=x_1^2(t)+u^2(t)$ $u_0=1$

• $x_1^{\prime }(t)=\sqrt{u(t)x_1(t)}-4=0\Rightarrow \sqrt{1x_1(t)}-4=0$

• $x_1(t)=16$

• $y(t)=257$

• $P=[u,x_1,y]=[0,16,257]$

• $x_1^{\prime }(t)=\frac{\partial x_1^{\prime }}{\partial x_1}(P)\Delta x_1(t)+\frac{\partial x_1^{\prime }}{\partial u}(P)\Delta u(t)$

• $x_1^{\prime }(t)=\frac{\partial x_1^{\prime }}{\partial x_1}(P)(x_1(t)-16)+\frac{\partial x_1^{\prime }}{\partial u}(P)(u(t)-1)$

• $\Delta y(t)=\frac{\partial y}{\partial x_1}(P)\Delta x_1(t)+\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u(t)$

• $y(t)-257=\frac{\partial y}{\partial x_1}(P)(x_1(t)-16)+\frac{\partial y}{\partial u}(u(t)-1)$

DFT určit frekvence signálů z obrázku

2. řád h(t) najít nuly a póly + vlastní frekvence a relativní tlumení

H(w) a x(t) urči spektrum výstupu Y(w)

h[n] a x[n] vypočítej výstupní signál y[n]

Počáteční a koncová hodnota X(s) společně s Laplace obrazem

Nákres amplitudové frekvenční charakteristiky z H(s)

Bode

Urči přenos

Výstup y(t) když u(t)

Typ filtrace

Konstantní skupinové zpoždění (Y/N)

Nyquistova charakteristika

Přenosová funkce mezi X a E ze schématu (bloky) Diference nelinarity - je systém nelineární Linearizace - výstup, když u(t) Diskretizace zpětná diference - diferenční rovnice

H(s)

Stavový popis systému Schéma stavového popisu Z matice charakteristický polynom a vniřní stabilita

Odhadnout přechodovou odezvu z několika měření Definice spektrální výkonové hustoty + výpočet z autokorelační funkce stacionárního signálu Nákres spektrální výkonové hustoty a autokorelační funkci bílého šumu a spektrální výkonovou hustotu 1/f šumu Welchova metoda ovlivnění spektrální hustoty délkou segmentu Kdy je signál stacionární v širším smyslu Autokorelační funkce R_xx(t) jaký je výkon

Shrnutí

• Deteriministický signál:

  • Průměrná hodnota
  • Okamžitý výkon
  • Průměrný výkon
  • Energie

• Amplitudová frekvenční charakteristika

  • spojitého systému $H(s)$

• Frekvenční charakteristika $H(s)$ z $h(t)$

• Diferenciální rovnice ($y^{\prime \prime }(t)+6y^{\prime }(t)+9y(t)=0$)

  • Charakteristická rovnice
  • Stabilita
  • Relativní tlumení
  • Vlastní frekvence
  • Tlumení
  • Obecné řešení
  • Náčrt odezvy
  • Impulzní odezva
  • Odezva pro $u(t)$ a nenulové počáteční podmínky
  • Náčrt $y(t)$ s nenulovými počátečními podmínkami
  • Schéma systému
    • Kanonický ke vstupu

• Přenosová funkce $H(s)$

  • Diferenciální rovnice
  • Nuly a póly
  • Stabilita
  • Výstup když $u(t)$
  • Schéma systému
    • Kanonický ke vstupu
    • Kanonický k výstupu

• Diferenční rovnice ($y[n]-0,5y[n-1]=u[n]-u[n-1]$)

  • Přenosová funkce
  • Nuly a póly
  • Stabilita
  • Přechodová odezva (odezva na jednotkový skok)
  • Frekvenční charakteristika
  • Schéma systému
    • Kanonický ke vstupu
    • Kanonický k výstupu

• $h(t)$ se vstupem $x(t)$ $y(t)$?

  • $y(t)=h(t)\ast x(t)$

• Laplaceova transformace $f(t)$

• Z transformace $x[n]$

• Přenosová funkce schématu

• Počáteční a koncová hodnota signálu

• Stavové matice ABCD

  • Nuly a póly
  • Vnější popis systému (vzájemné dosazení stavových rovnic)

• Diskretizace diferenciální rovnice

  • Impulzní invariance

• Nelineární stavový popis

  • Pracovní bod
  • Zlinearozovat (nejen $\Delta$)

• Přenosová funkce z Bodeho

  • $H(s)=K\frac{(s+\text{nula})(\dots )}{(s+\text{poˊl})(\dots )}$
  • Nuly táhnou graf nahoru
  • Póly táhnou graf dolů
  • $K$ je tam kde je konstantní (nejdříve vlevo, když ne tak vpravo)

• Frekvenční charakteristika:

  • $H(j\omega )\dots$ spojité systémy
  • $H(e^{j\omega })\dots$ diskrétní systémy

• Impulzní odezva $h(t)$

• Autokorelační funkce $R_{xx}$

• Spektrální výkonová hustota $S_{xx}$