Výpočet maticové exponenciely

Maticovou exponencielu lze analyticky vypočítat 4 základními způsoby:

1. Z definice (Taylorova řada): $e^{At}=I+{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{A^k{t}^k}{k!}$ Tato metoda je vhodná pro nilpotentní matice, pro které existuje $m$ takové, že $A^m=0$ (řada je pak konečná). Tyto matice mají všechna vlastní čísla rovna 0.

2. Podobnostní transformace: Převedeme matici $A$ do Jordanova kanonického tvaru $J$ pomocí nesingulární transformační matice $P$ (slouží ke změně báze). $x(t)=P{e}^{Jt}{P}^{-1}{x}_0⟹e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$ Matice $P$ se skládá z vlastních vektorů matice $A$. Pro vícenásobná vlastní čísla vznikají bloky $J_i$ a matice $P$ se doplňuje o zobecněné vlastní vektory, splňující $(A-{\lambda }_{i}I)g{v}_i^k=g{v}_i^{k-1}$.

3. Cayley-Hamiltonův teorém: Každá matice vyhovuje svému charakteristickému polynomu. Z toho vyplývá, že maticovou exponencielu lze zapsat jako lineární kombinaci mocnin matice $A$ až do řádu $n-1$: $e^{At}={\sum }_{i=0}^{n-1}{\alpha }_i(t)A^i$ Koeficienty ${\alpha }_i(t)$ se spočítají pomocí vlastních čísel z rovnice $f({\lambda }_i)=g({\lambda }_i)$.

4. Inverzní Laplaceova transformace: Převod do $s$-roviny, inverze matice $(sI-A)$ a zpětná transformace. $e^{At}={\mathcal{L}}^{-1}\{(sI-A{)}^{-1}\}$