Ackermannův vzorec

Jak to spočítat (Postup na papíře)

Pro systém $n$-tého řádu s jedním vstupem ($u$ je skalár) vypadá vzorec takto: $K=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 1\end{array}\right]\cdot {\mathcal{C}}^{-1}\cdot P(A)$Kde:

1. $\mathcal{C}$ je matice řiditelnosti: $\mathcal{C}=[BAB{A}^{2}B\dots A^{n-1}B]$.
2. ${\mathcal{C}}^{-1}$ je její inverze: (Tady na papíře často začíná pot, u matic 3x3 a větších).
3. $P(A)$ je tvůj požadovaný polynom dosazený maticí $A$:
   • Máš vysněný polynom $P(s)=s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0$.
   • Vypočítáš matici: $P(A)=A^n+{\alpha }_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_{1}A+{\alpha }_{0}I$ (kde $I$ je jednotková matice).

4. Příklad pro 2. řád (Jak se to dělá v praxi)

Mějme systém, kde $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_0& -a_1\end{array}\right]$ a $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$. Chceme póly ${\lambda }_1,{\lambda }_2$.

1. Sestav $\mathcal{C}$: $[BAB]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -a_1\end{array}\right]$.
2. Invertuj $\mathcal{C}$: ${\mathcal{C}}^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}-a_1& -1\\ -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.
3. Vysněný polynom: $(s-{\lambda }_1)(s-{\lambda }_2)=s^2+{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0$.
4. $P(A)$: $A^2+{\alpha }_{1}A+{\alpha }_{0}I$.
5. Vynásob: $K=[01]\cdot {\mathcal{C}}^{-1}\cdot P(A)$.

Výsledkem je řádkový vektor $K=[k_1,k_2]$, který použiješ v zákoně řízení $u=-Kx=-(k_1{x}_1+k_2{x}_2)$.