Návrh regulátoru

Přenos PID regulátoru: $R(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s$ Laplaceova transformace (za předpokladu nulových počátečních podmínek):

• $s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=U(s)$
• Vytkneš $Y(s)$: $Y(s)\cdot (s^2+3s+2)=U(s)$
• Přenos: $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+3s+2}$ Zjistí poly a nuly prenosu
• Jmenovatel rozložíš: $(s+1)(s+2)$.
• Póly jsou v $s=-1$ a $s=-2$.
• Co z toho vidím: Systém je stabilní, nekmitá (póly jsou na reálné ose), ale je pomalý (pól v -1 je blízko imaginární osy). Trvalá odchylka bude existovat (není tam žádný integrátor $s$ ve jmenovateli).

Přidá póly stabilní (imaginární pro rychlost) Vložím do vzorce uzavřeného přenosu a porovnám charakterisktický polynom s požadovaným $(s+2+2j)(s+2-2j)=s^2+4s+8$ $G_w=\frac{R\cdot G}{1+R\cdot G}=\frac{\frac{K_{p}s+K_i}{s}\cdot \frac{1}{s^2+3s+2}}{1+\dots }=\frac{K_{p}s+K_i}{s^3+3s^2+(2+K_p)s+K_i}$ $s^2+4s+8$.

• Napiš přenos otevřené smyčky: $L(s)=R(s)G(s)$.
• Vypočítej charakteristickou rovnici: $1+L(s)=0$.
• Vytvoř tabulku parametrů:
  • $K_p=\dots$
  • $K_i=\dots$

White box

Umístění pólů

• Spočítám kde má systém “špatné” póly
• Udělám pomocí Ackermannův vzorec kam by se měli póly přesunout
• Mám regulátor

Příklad:

Zadání: $P(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}$ PID rovnice: $C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s=\frac{K_d{s}^2+K_{p}s+K_i}{s}$ Uzavřená smyčka: $G(s)=\frac{C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}$ Charakteristický polynom: $1+C(s)P(s)=0$ Dosadím PID: $1+\left(\frac{K_d{s}^2+K_{p}s+K_i}{s}\right)\cdot \left(\frac{1}{s^2+3s+2}\right)=0$ $(s^3+3s^2+2s)+(K_d{s}^2+K_{p}s+K_i)=0$ Vyberu si póly kam je chci a udělám z nich polynom: $(s+1)(s+2)(s+10)=0$ $s^3+13s^2+32s+20=0$ Srovnám chtěný a ten ze systému a dostanu konstanty:

• $K_d=10$
• $K_p=30$
• $K_i=20$

Frekvenční metody (Bode plot)

• Z přenosu nakreslím Bodeho graf
• Podle nich navrhnu PID aby měl Amplitudová bezpečnost GM, Fázová bezpečnost PM

Root Locus

Příklad

Zadání: $P(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}$ Plný PID regulátor má tvar: $C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s=\frac{K_d{s}^2+K_{p}s+K_i}{s}$ Upravím do tvaru: $P(s)=\frac{K\cdot (s^2+3s+2)}{s}$ Potom tedy: $L(s)=C(s)\cdot P(s)=\frac{K}{s}$ Volím nuly vlevo aby to táhlo póly do záporu

A jak určíme konstantu $K$? Chceme, aby systém reagoval rychlostí (tranzitní frekvencí) ${\omega }_c=2$. Základní podmínka zní, že amplituda při této frekvenci musí být $1$. $|L(j2)|=1⟹\left|\frac{K}{j2}\right|=1⟹\frac{K}{2}=1⟹\mathbf{K}=2$ Výpočet konstant: $K_d{s}^2+K_{p}s+K_i=2\cdot (s^2+3s+2)$ $K_d{s}^2+K_{p}s+K_i=2s^2+6s+4$ A pouhým porovnáním koeficientů máme výsledek:

• Derivační složka: $K_d=2$
• Proporcionální složka: $K_p=6$
• Integrační složka: $K_i=4$

Gray box

1. Identifikace a zjištění konstant
2. Stejně jako white box navrhnu