Stavový popis

Klasicky je systém popsán diferenciální rovnicí N-tého řádu. Stavový popis to rozdělí na N diferenciálních rovnic prvního řádu.

Stavová rovnice (Jak se systém vyvíjí): $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ Výstupní rovnice (Co ze systému reálně vidíme): $y(t)=Cx(t)+Du(t)$

• $\dot{x}(t)$ je derivace stavů (kam se systém pohne v další mikrosekundě).
• $x(t)$ je aktuální stavový vektor.
• $u(t)$ je vektor vstupů (to, co do systému posíláme my, např. napětí na motor).
• Matice $A$ (Matice dynamiky / Systémová matice): Určuje, jak se stavy ovlivňují navzájem. Tohle je naprosté jádro systému.
• Matice $B$ (Matice vstupu): Říká, jak naše akční zásahy ($u$) zasahují do jednotlivých vnitřních stavů.
• $y(t)$ je vektor výstupů (to, co reálně měříme senzory).
• Matice $C$ (Matice výstupu): Definuje, které vnitřní stavy ($x$) z toho celého balíku vlastně umíme změřit a ukázat na displeji.
• Matice $D$ (Matice přímé vazby): Ve většině reálných fyzikálních systémů je to nula. Popisovala by situaci, kdy by se vstupní signál okamžitě, bez jakéhokoliv zpoždění, projevil na výstupu.

Převod z diferenciální rovnice

$m\ddot{y}+b\dot{y}+ky=u$ Vyjádříme si nejvyšší derivaci. $\ddot{y}=-\frac{k}{m}y-\frac{b}{m}\dot{y}+\frac{1}{m}u$ Definujeme stavy:

• $x_1=y$ (poloha)
• $x_2=\dot{y}$ (rychlost)

Derivace:

• ${\dot{x}}_1=\dot{y}$
• ${\dot{x}}_2=\ddot{y}=-\frac{k}{m}{x}_1-\frac{b}{m}{x}_2+\frac{1}{m}u$

Přepíšeme to do matic (Matice $A,B,C,D$). $\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{m}& -\frac{b}{m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{m}\end{array}\right]u$

Pokud senzorem měříme pouze polohu ($x_1$), výstupní rovnice vypadá takto: $y=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+[0]u$