Signály, systémy a inference

První týden V SSI řešíme témata ohledně signálů a systémů

Klasifikace signálů

• Spojitý signál: $x(t):\mathbb{R}\to \mathbb{R}/\mathbb{C}$
• Diskrétní signál: $x[n]:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}/\mathbb{C}$
• Deterministický – všechny realizace stejné (např. $x(t)=\sin t$)
• Stochastický – jednotlivé realizace různé
• Periodický: $x(t)=x(t+T)$, základní perioda $T$ frekvence $f=1/T$
• Aperiodický – nemá periodu

---

Klasifikace systémů

• Stabilita:
  • Lyapunova: zůstává v okolí rovnovážného bodu (RB)
  • Asymptotická: konverguje k RB (${\lim }_{t\to \infty }x(t)=x_e$​)
  • Exponenciální: asymptotická + konvergence rychlejší než exponenciála
  • BIBO (Bounded Input Bounded Output): omezený vstup → omezený výstup
• Časová invariance – vlastnosti se nemění v čase
• Linearita – platí superpozice
• LTI systém (lineární časově invariantní): klíčová třída, umožňuje rozklad signálů na vlastní funkce (exponenciály, Fourier)

---

Důležité signály

• Reálná exponenciála: $x(t)=A{e}^{\sigma t}$
• Sinus/kosinus: $x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$
• Tlumený sinus/kosinus: $x(t)=A{e}^{\sigma t}\cos (\omega t+\phi )$
• Komplexní exponenciála: $x(t)=A{e}^{st},s=\sigma +j\omega$
  • vlastní funkce LTI systému

---

Speciální funkce

• Diracova delta $\delta (t)$:
  • ${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$
  • Vzorkovací vlastnost: $\int f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0)$
• Jednotkový skok (Heaviside) $1(t)$:
  • $1(t)=0,t<0;1/2,t=0;1,t>0$
  • Platí: $\frac{d}{dt}1(t)=\delta (t)$

---

Charakteristiky deterministických signálů

• Průměrná hodnota (časová střední hodnota)
• Výkon: $p(t)=|x(t){|}^2$, průměrný výkon $P=Avg\{|x(t){|}^2\}$
• Energie: $E=\int |x(t){|}^{2}dt$
  • Výkonové signály: $P_{\infty }$ konečný, $E_{\infty }$​ nekonečná
  • Energetické signály: $E_{\infty }$​ konečná
• Decibely:
  • $p[dB]=10{\log }_{10}(P/P_0)$
  • $p[dB]=20{\log }_{10}(V/V_0)$

---

Podobnost signálů

• Vzájemná energie: $E_{12}=\int x_1(t)x_2^{\ast }(t)dt$
• Vzájemný výkon: $P_{12}=Avg\{x_1(t)x_2^{\ast }(t)\}$
• Geometrická interpretace: skalární součin vektorů signálů

---

Vzorkování

• Vzorky: $x[n]=x(n{T}_s),f_s=1/T_s$
• Matematicky: $x_s(t)=x(t)\sum \delta (t-n{T}_s)$
• Aliasing – důsledek příliš nízké vzorkovací frekvence

Časová oblast

Spektrální oblast

Fourierova transformace

Převod z časové do spektrální oblasti

Inverzní Fourierova transformace

Převod ze spektrální do časové oblasti

Spektrální analýza

Signál je složený ze spektra tónů na různých frekvencích

$x(t)=x(t+nT)$, $T$ - perioda, $\frac{1}{T}=f$ - frekvence

Spektrální analýza signálů

Fourierova řada

Fourierova transformace pro spojité periodické signály

Fourierova transformace ve spojitém čase

Fourierova transformace ve spojitém čase

Fourierova transformace v diskrétním čase

Fourierova transformace v diskrétním čase

Diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace

Filtrace ve spektrální oblasti

Nevýhody:

• Musíme uložit celý signál
• Není v reálném čase

02. School/01. Bc KyR/03. Semestr/32 SSI/notes/Frekvenční charakteristika

Propusti:

• Dolní propust
• Horní propust
• Pásmová propust
• Pásmová zádrž

Zpoždění:

• Fázové zpoždění
• Skupinové zpoždění

Lineární fáze Nelineární fáze

Filtrace v časové oblasti

Impulzní odezva Lineární konvoluce

Počet nenulových členů impulzní odezvy $h[n]$ je:

• konečný (Konečná impulzní odezva) - FIR
• Nekonečný (Nekonečná impulzní odezva) - IIR